设{an}的前n项和为S,已知a1=1,a2=6,a3=11,(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn= -20n-8.n=1,2,3...求证{an}为等差数列.很难啊

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 18:58:25

设{an}的前n项和为S,已知a1=1,a2=6,a3=11,(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn= -20n-8.n=1,2,3...求证{an}为等差数列.很难啊
设{an}的前n项和为S,已知a1=1,a2=6,a3=11,(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn= -20n-8.n=1,2,3...求证{an}为等差数列.
很难啊

设{an}的前n项和为S,已知a1=1,a2=6,a3=11,(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn= -20n-8.n=1,2,3...求证{an}为等差数列.很难啊
(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn= -20n-8
(5n-13)Sn-(5n-3)Sn-1= -20n+12
相减
因为[sn+1-sn=an+1]
所以(5n-8)an+1+5sn-(5n+2)an-5sn-1=-20
[5n-8]an+1-(5n-3)an=-20
[5n-13]an-(5n-8)an-1=-20
相减
(5n-8)(an+1-an)-(5n-8)(an-an-1)=0
(5n-8)(an+1-2an+an-1)=0
an+1-2an+an-1=0
an-an-1=5
{an}为等差数列.
这下对了,还有问题么?

这题有个很简单的方法
就是反证法
不知道你学了没有
不过你看了就会学会了很简单
我们先假设an 不是等差数列
那么a4就不能等于16
然后把n=3代入方程得
7S4-17S3=-68
因为a1=1 a2=6 a3=11
得S3=18 S4=S3+a4
代入得a4=16
与前面假设得到的 a4不等于16 矛盾<...

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这题有个很简单的方法
就是反证法
不知道你学了没有
不过你看了就会学会了很简单
我们先假设an 不是等差数列
那么a4就不能等于16
然后把n=3代入方程得
7S4-17S3=-68
因为a1=1 a2=6 a3=11
得S3=18 S4=S3+a4
代入得a4=16
与前面假设得到的 a4不等于16 矛盾
所以假设不成立
得an 为等差数列且等差为5

收起

因 Sn+1 = Sn + An+1
(5n-8)(Sn + An+1)=5nSn+2Sn-20n-8
所以 5nSn+5n(A1+nd)-8Sn-8(A1+nd)=5nSn+2Sn-20n-8
化简得 10Sn=25n+5（n^2）d-8nd
Sn=（n^2）d/2+(25-8d)n/10
即Sn是关于n的一元二次方程
所以{an}为等差数列.