已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 05:02:04

已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1
已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)
求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1

已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R,对于曲线上不同两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)求证:存在曲线上的唯一点M(x0,y0),x1
当然有高中思路啦
原问题即转化为：f'(x)=（y2-y1）/(x2-x1)在（x1,x2）上有唯一解
且f'(x)=a+1/x
所以即为证明：a+1/x=（y2-y1）/(x2-x1)在（x1,x2）上有唯一解
将y=ax+lnx带入,则：
即证a+1/x=a+(lnx2-lnx1)/(x2-x1)在（x1,x2）上有唯一解
两边消去a,即证：
1/x=(lnx2-lnx1)/(x2-x1)在（x1,x2）上有唯一解
注意,x1,x2是两个确定的值,所以上式实际上是关于x的一次函数：
即证：(lnx2-lnx1)x=x2-x1在（x1,x2）上有唯一解
又因为：可解得x=(x2-x1)/(lnx2-lnx1)=x0
所以即证：x0∈（x1,x2）
即证：(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1且小于x2
先证：(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1
即证：x2-x1大于（lnx2-lnx1）x1
把x1除过去,换元令t=x2/x1,即证：t-1〉lnt
其中：因为x2大于x1大于0,所以t大于1
移项构造函数,求导即可证明t-1-lnt大于0,即t-1〉lnt
所以：(x2-x1)/(lnx2-lnx1)大于x1
同理可证：(x2-x1)/(lnx2-lnx1)小于x2
综上,原命题得证
没想到明天就高考了的时候,还能帮你解决一个问题呢

罗尔定理
http://baike.baidu.com/view/398971.html?wtp=tt
拉格朗日中值定理
http://baike.baidu.com/view/103944.htm?func=retitle
要证明唯一，只需要证明函数f(x)有唯一的极值..........

设a∈r,函数f【x】=lnx-ax 已知函数f(x)=ax+lnx(a属于R)求f(x)的单调区间. 已知函数f(x)=lnx - ax + (1-a)/x -1(a∈R) ,当0≤a 已知函数f（x）=（ax²-x）lnx-1/2ax²+x（a∈R）求函数f（x）的单调区间已知函数f(x)=ax-a/x-2lnx 已知函数f(X)=ax^2+2lnx,(a属于R）,讨论函数f(X)的单调性只限今天已知函数f(x)=lnx-ax(a属于R)求函数f(x)单调区间. 已知函数f(x)x2+ax-lnx a属于R 当a=1已知函数f(x)=x2+ax-lnx a属于R 当a=1时,求函数f(x)的单调区间已知函数f(x)=lnx+x²+ax(a∈R) 若函数fx在其定义域上为增函数,求a的取值范围已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.讨论函数y=f(x)零点个数已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.讨论函数y=f(x)零点个数“若极大值大于0,即0 已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）讨论函数f（x）在定义域内的极值点个数求函数f(x)=2lnx-ax(a∈R)的单调区间 f(x)=ax-lnx,a∈r,求函数的单调区间已知函数f(x)=ax²+(1-2a)x-lnx(a属于R)求当a 已知函数f(x)=ax-x²-lnx,a∈R (1)当a=0时,判断f(x)的单调性已知函数f(x)=x^2+ax+c,g(x)=lnx+c,a c∈R若对x1,x2∈R,且x1 已知f(x)=lnx+1/x+ax(a∈R),求f(x)在[2,+∞),上是单调函数时a的取值范围