在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 06:53:41

在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想
在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到
△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M．
（1）当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,已知AC=kBD,请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想；
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,AD∥BC,此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立?∠AMB与α的大小关系是否成立?不必证明,直接写出结论．
如图所示

在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想
（1）AC′=BD′,∠AMB=α,
证明：在矩形ABCD中,AC=BD,OA=OC=1/2AC,OB=OD=1/2BD,
∴OA=OC=OB=OD,
又∵OD=OD′,OC=OC′,
∴OB=OD′=OA=OC′,
∵∠D′OD=∠C′OC,
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC,
∴∠BOD′=∠AOC′,
∴△BOD′≌△AOC′,
∴BD′=AC′,
∴∠OBD′=∠OAC′,
设BD′与OA相交于点N,
∴∠BNO=∠ANM,
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO,
即∠AMB=∠AOB=∠COD=α,
综上所述,BD′=AC′,∠AMB=α,
（2）AC′=kBD′,∠AMB=α,
证明：在平行四边形ABCD中,OB=OD,OA=OC,
又∵OD=OD′,OC=OC′,
∴OB：OA=OD′：C′,
∵∠D′OD=∠C′OC,
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC,
∴∠BOD′=∠AOC′,
∴△BOD′∽△AOC′,
∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC,
∵AC=kBD,
∴AC′=kBD′,
∵△BOD′∽△AOC′,
设BD′与OA相交于点N,
∴∠BNO=∠ANM,
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO,即∠AMB=∠AOB=α,
综上所述,AC′=kBD′,∠AMB=α,
（3）AC′=BD′成立,∠AMB=α不成立．

成立

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