若sin³α+cos³α

若sin³α+cos³α
若sin³α+cos³α<0,则sinα+cosα的取值范围是=
源自《名牌大学自主招生高效备考》

若sin³α+cos³α
设t=sinα+cosα
sinα³+cosα³＜0
因为sinα³+cosα³=(sinα+cosα)(sinα²-sinαcosα+cosα²)=t[1-(t^2-1)/2]=t(3-t^2)/2＜0
所以t＜0,3-t^2＞0或者t＞0,3-t^2＜0
故-√3＜t＜0或t＞√3.(1)
又根据三角函数的有界性
t=sinα+cosα=√2sin(α+π/4)∈[-√2,√2].(2)
(1)(2)取交集得-√2≤t＜0
即-√2≤sinα+cosα＜0