已知函数f(x)是定义在R上的偶函数 f(x)=ex-ax

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 15:11:14
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数 f(x)=ex-ax

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数 f(x)=ex-ax
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数 f(x)=ex-ax

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数 f(x)=ex-ax
答:
因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)图像关于y轴对称.
f'(x)=e^x-a.
①当a≤0时,f'(x)恒大于0所以f(x)在(0,+∞)上递增.又f(0)=1,所以f(x)无零点,不符;
②当a>0时,x=lna.
x [0,lna) ,lna ,(lna,+∞)
f'(x) 0
f(x) 递减 ,极小值 ,递增
当x=lna时,f(x)=a-alna.
当a-alna>0时,f(x)无零点,不符;
当a-alna=0时,f(x)有两个零点,不符;
当a-alnae.
所以a的取值范围是(e,+∞).

先考虑仅有两个零点,则y=f(x)与x轴的正负半轴相切,设x正半轴切点为(b,0),于是e^b-ab=0,e^b-a=0,得到b=1或a=0(舍去),进而得到a=e,所以f(x)=e^x-ex(x≥0),f(x)=e^(-x)+ex(x<0).欲使f(x)有四个零点,那么就要使y=f(x)的图像再向下移动,即要使y值比现在的要小些,故a>e.