作业帮【急,在线等】函数单调性的问题证明y=-x^3+1在R上是减函数帮忙大家给我个证明过程,要有详细的化简,变形和解析,在线等谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 06:19:40
【急,在线等】函数单调性的问题证明y=-x^3+1在R上是减函数帮忙大家给我个证明过程,要有详细的化简,变形和解析,在线等谢谢
【急,在线等】函数单调性的问题
证明y=-x^3+1在R上是减函数
帮忙大家给我个证明过程,要有详细的化简,变形和解析,在线等谢谢
【急,在线等】函数单调性的问题证明y=-x^3+1在R上是减函数帮忙大家给我个证明过程,要有详细的化简,变形和解析,在线等谢谢
证明只能用定义~
设x1>x2∈R
y1-y2=-x1^3+x2^3
=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)
∵x2
学了导数的话
求导 y′=-3x²
所以y=-x^3+1在R是减函数
没学的话
任意取a,b属于R满足a小于b
那么 f(a)-f(b)=b^3-a^3
因为b大于a
所以b^3大于a^3
所以b^3-a^3=f(a)-f(b)大于0
所以对于任意a小于b 有f(a)大于f(b)
所以是减函数
求导数为-3x^2<=0,故原函数在R上单调递减。
在R上取x1
f（x1)-f(x2)=-x1³+1+x2³-1
=x2³-x1³
∵x1
即f（x1)-f(x2)>0
∴y=-x³+1在R上是减函数
f(x)=y=-x^3+1
可以分两种情况:
1.当x>=0的时候,设x1>x2 ,那么-x1^3<-x2^3
f(x1)-f(x2)=-x1^3+1+x2^3-1=-x1^3+x2^3 <0
2.当x<0的时候,设x1
f(x1)-f(x2)=-x1^3+1+x2^3-1=-x1^3+x2^3 >0
综上可知y=-x^3+1在R上是减函数
求导 y′=-3x²≤0故y=-x^3+1在R上是减函数
证明：设x1，x2为R上的两个数，且x1〈x2，对应设y1，y2，则
y1=-（x1）^3+1
y2=-（x2）^3+1
设F=y1-y2=[-（x1）^3+1]-[-（x2）^3+1]
=（x2）^3-（x1）^3
=（x2-x1）*[（x2-x1）^2+x1*x2]
〉0 ...
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证明：设x1，x2为R上的两个数，且x1〈x2，对应设y1，y2，则
y1=-（x1）^3+1
y2=-（x2）^3+1
设F=y1-y2=[-（x1）^3+1]-[-（x2）^3+1]
=（x2）^3-（x1）^3
=（x2-x1）*[（x2-x1）^2+x1*x2]
〉0 （上式*号左右两个都大于0，你也明白）
则有y1〉y2，而设中x1〈x2，则y=-x^3+1在R上是减函数。
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