作业帮解方程sinθ-2cosθ=-1,求θ,答案为θ=arcsin(3/5),怎么做的?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:01:58
解方程sinθ-2cosθ=-1,求θ,答案为θ=arcsin(3/5),怎么做的?
解方程sinθ-2cosθ=-1,求θ,答案为θ=arcsin(3/5),怎么做的?
解方程sinθ-2cosθ=-1,求θ,答案为θ=arcsin(3/5),怎么做的?
应该有条件,θ是锐角吧.
sinθ-2cosθ=-1
又 sin²θ+cos²θ=1
∴ 4sin²θ+4cos²θ=4
即 4sin²θ+(sinθ+1)²=4
∴ 5sin²θ+2sinθ-3=0
∴ (sinθ+1)(5sinθ-3)=0
则sinθ=-1或sinθ=3/5
∵ θ是锐角,
舍去sinθ=-1
∴ θ=arcsin(3/5)
令x=sinθ
则cosθ=√(1-x^2)（2kπ-π/2<=θ<=2kπ+π/2)或-√(1-x^2（2kπ+π/2<θ<2kπ+3π/2)
先处理cosθ>=0的情况
x-2√(1-x^2)=-1
移项后两边平方可得
(x+1)^2=4(1-x^2)
整理后
5x^2+2x-3=0
x=-1或3/5
故θ=2kπ-π/2...
全部展开
令x=sinθ
则cosθ=√(1-x^2)（2kπ-π/2<=θ<=2kπ+π/2)或-√(1-x^2（2kπ+π/2<θ<2kπ+3π/2)
先处理cosθ>=0的情况
x-2√(1-x^2)=-1
移项后两边平方可得
(x+1)^2=4(1-x^2)
整理后
5x^2+2x-3=0
x=-1或3/5
故θ=2kπ-π/2<=θ（k为整数）或2kπ+arcsin(3/5)（k为整数）
若cosθ<0，即第二种情况
因sinθ>=-1
若cosθ<0
则sinθ-2cosθ>-1
等式永远无法成立。
故满足方程的解只能出现在第一种情况中
因此θ=2kπ-π/2<=θ（k为整数）或2kπ+arcsin(3/5)（k为整数）
收起