作业帮如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E为AD中点,P为CE中点,F为BP中点,FH⊥BC交BC于H,连接PH.①求HF；②求△BFD的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 12:18:09
如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E为AD中点,P为CE中点,F为BP中点,FH⊥BC交BC于H,连接PH.①求HF；②求△BFD的面积
如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E为AD中点,P为CE中点,F为BP中点,FH⊥BC交BC于H,连接PH.
①求HF；②求△BFD的面积
如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E为AD中点,P为CE中点,F为BP中点,FH⊥BC交BC于H,连接PH.①求HF；②求△BFD的面积
(1)CE=√((4^2)+(2^2))=2√(5)
∴CP=2√(5)/2=√(5)
延长BP交CD于G,
过P作KM⊥CE交CD于K,交AB于M,交CB延长线于L,
易知△CPK∼△CDE
∴CP/CD=CK/CE
CP/CD=PK/DE
即√(5)/4=CG/2√(5)⇒CK=5/2
√(5)/4=PG/2⇒PK=√(5)/2
延长HF交MK于N,
因为FH∥DC(同垂直于BC)
BF=FP ∴NM=NP
(过三角形一边的中点,且平行于另一边的直线必平分第三边)
因为∠CKP=∠CED
∴RT△CDE∼RT△LCK
∴CK/DE=CD/CL
∴2.5/2=4/CL⇒CL=5
∴LB=5-4=1
AB∥CD∴△LBM∼△LCK
∴BM/LB=CK/LC=2.5/5=1/2
∴BM=0.5
∴LM=√((1^2)+(0.5^2))=√(5)/2=PK
∴LM+MN=PK+NP
则LN=NK
∴LH=HC=2.5
∴BH=2.5-1=1.5
∴BF/BG=BH/BC=1.5/4=3/8
NH=CK/2=2.5/2=5/4
NF=MB/2=0.5/2=1/4
∴HF=5/4-1/4=1
(2)因为△BHF∼△BCG
∴BH/BC=HF/CG
则1.5/4=1/CG⇒CG=8/3
∴DG=4-(8/3)=4/3
∴DG=DC/3
因为S△BCD=1/2•4•4=8
∴S△BGD=S△BCD/3=8/3
∴S△BFD=(3/8)S△BGD=8/3×3/8=1