作业帮因式分解的应用1.设a,b,c,d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,且a³+b³=c³+d³.证明：a=c,b=d2.已知x+y+z=3,且（x-1）³+（y-1）³+（z-1）³=0.求证x,y,z中至少有一个等于1.3.设a,b,c,d是四个整数,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/19 11:34:24
因式分解的应用1.设a,b,c,d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,且a³+b³=c³+d³.证明：a=c,b=d2.已知x+y+z=3,且（x-1）³+（y-1）³+（z-1）³=0.求证x,y,z中至少有一个等于1.3.设a,b,c,d是四个整数,
因式分解的应用
1.设a,b,c,d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,且a³+b³=c³+d³.证明：a=c,b=d
2.已知x+y+z=3,且（x-1）³+（y-1）³+（z-1）³=0.求证x,y,z中至少有一个等于1.
3.设a,b,c,d是四个整数,且使m=(ab+cd)²-1/4（a²+b²-c²-d²）²是一个非零整数,求证：｜m｜一定是合数.
因式分解的应用1.设a,b,c,d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,且a³+b³=c³+d³.证明：a=c,b=d2.已知x+y+z=3,且（x-1）³+（y-1）³+（z-1）³=0.求证x,y,z中至少有一个等于1.3.设a,b,c,d是四个整数,
公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b²
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
1）a³+b³=c³+d³
(a+b)(a²-ab+b²)=(c+d)(c²-cd+d²)
因为a+b=c+d≠0
所以a²-ab+b²=c²-cd+d²
(a+b)²-3ab=(c+d)-3cd
ab=cd
所以 (a+b)²-4ab=(c+d)²-4cd
即 (a-b)²=(c-d)²
因为a≤b,c≤d
所以 a-b=c-d
联合 a+b=c+d
解得 a=c,b=d
2）（x-1）³+（y-1）³+（z-1）³=0
(x³-3x²+3x-1)+ (y³-3y²+3y-1)+ (z³-3z²+3z-1)=0
(x³+y³+z³-3xyz)+3xyz-3(x²+y²+z²)+3(x+y+z)-3=0
(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)+3xyz-3(x²+y²+z²)+3(x+y+z)-3=0
3(x²+y²+z²-xy-xz-yz)+3xyz-3(x²+y²+z²)+3(x+y+z)-3=0
xyz-xy-xz-yz+x+y+z-1=0
(xyz-xy-xz+x)-(yz-y-z+1)=0
x(yz-y-z+1)-(yz-y-z+1)=0
(x-1)(yz-y-z+1)=0
(x-1)[y(z-1)-(z-1)]=0
(x-1)(y-1)(z-1)
x-1=0或y-1=0或z-1=0
即 x,y,z中必有一个等于1
3）m=(ab+cd)²-1/4（a²+b²-c²-d²）²
=¼[(2ab+2cd)²-(a²+b²-c²-d²)²]
=¼(2ab+2cd+a²+b²-c²-d²)(2ab+2cd-a²-b²+c²+d²)
=¼[(a²+2ab+b²)-(c²-2cd+d²)][(c²+2cd+d²)-(a²-2ab+b²)]
=¼[(a+b)²-(c-d)²][(c+d)²-(a-b)²]
=¼(a+b-c+d)(a+b+c-d)(c+d-a+b)(c+d+a-b)
因为 m≠0
所以a+b-c+d≠0,a+b+c-d≠0,c+d-a+b≠0,c+d+a-b≠0
定理：对于整数a,b,a-b与a+b,奇偶性相同
a+b-c+d=(a+b)-(c-d),a+b+c-d=(a+b)+(c-d)
所以a+b-c+d与a+b+c-d奇偶性相同
同理可得,c+d-a+b与c+d+a-b奇偶性相同,a+b-c+d与c+d+a-b奇偶性相同,
即这四式奇偶性相同,那么可能 同奇 或 同偶
又因为m为整数,所以这四式必为偶数,
所以(a+b-c+d)(a+b+c-d)(c+d-a+b)(c+d+a-b)能被16整除
m==¼(a+b-c+d)(a+b+c-d)(c+d-a+b)(c+d+a-b)必能被4整除
所以|m|必为合数