求证:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 15:58:57

求证:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数
求证:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数

求证:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数
设第一个奇数为2n-1(n为正整数）,则第二个奇数为2n+1
(2n+1)^2-(2n-1)^2=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1)
=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1
=8n
因为n为正整数,所以8n能被8整除
即(2n+1)^2-(2n-1)^2一定是8的倍数

证明:
假设:两个连续奇数的平方差不是8的倍数
设这个奇数为X 则
x^3+(x+2)^3
=x^3+(x^2+2x+4)(x+2)
=x^3+x^3+2x^2+4x+2x^2+4x+6
=2x^3+4x^2+8x+6
=2(x^3+2x^2+4x+3)
因为x为奇数,奇数X奇数X奇数=奇数,奇数X奇数=奇数
所以

(2k+3)^2-(2k+1)^2 (k是正整数)
=4k^2+12k+9-4K^2-4k-1
=8k-8
=8(k-1)
得证

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