设数列｛An｝的前n项和为Sn,且Sn=4An－3（n=1,2,…） ⑴证明：数列｛An｝是等比数列； ⑵若数列｛Bn｝满足Bn＋1＝An+Bn(n=1,2,…),b1＝2,求数列｛Bn｝的通项公式.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 15:35:32

设数列｛An｝的前n项和为Sn,且Sn=4An－3（n=1,2,…） ⑴证明：数列｛An｝是等比数列； ⑵若数列｛Bn｝满足Bn＋1＝An+Bn(n=1,2,…),b1＝2,求数列｛Bn｝的通项公式.
设数列｛An｝的前n项和为Sn,且Sn=4An－3（n=1,2,…） ⑴证明：数列｛An｝是等比数列； ⑵若数列｛Bn｝满足Bn＋1＝An+Bn(n=1,2,…),b1＝2,求数列｛Bn｝的通项公式.

设数列｛An｝的前n项和为Sn,且Sn=4An－3（n=1,2,…） ⑴证明：数列｛An｝是等比数列； ⑵若数列｛Bn｝满足Bn＋1＝An+Bn(n=1,2,…),b1＝2,求数列｛Bn｝的通项公式.
因Sn=4An－3,所以An+1=Sn+1-Sn=4An+1-4An 即有3An+1=4An An+1/An =4/3
因此数列｛An｝是等比数列,且公比为4/3
因S1=A1=4A1－3,所以A1=1 An =(4/3)的n-1次方. 又因Bn＋1＝An+Bn,Bn＝An-1+Bn-1,...B2＝A1+B1.设Bn的前n项和为Tn,将这n个等式相加可得Tn+1 - B1=Sn+Tn
所以Bn+1=Tn+1 -Tn=2+Sn=2+ 3*[(4/3)的n次方-1]=3*（4/3）的n次方-1,从而有Bn=3*(4/3)的n-1次方-1
解题思想应该就是这个,不知道中间计算有没错误,自己再看看吧

S(n-1)=4A(n-1)-3
An=Sn-S(n-1)=4An-4A(n-1)
则3An=4A(n-1)，An是等比数列
S1=4A1-3=A1，则A1=1。
An=(4/3)^(n-1)
B(n+1)-Bn=An,则B2-B1=A1，B3-B2=A2……Bn-B(n-1)=A(n-1)
所有项相加：B(n+1)-B1=A1+A2+……+An=3*[(4/3)^n-1]
B(n+1)=3*(4/3)^n-1
则Bn=3*(4/3)^(n-1)-1

全部展开

(1)
Sn=4An-3
S(n-1)=4A(n-1)-3
Sn-S(n-1)=An=4An-3-[4A(n-1)-3]=4an-3-4A(n-1)+3=4An-4A(n-1)
3An=4A(n-1)
An/A(n-1)=4/3
所以数列｛An｝是等比数列,公比是4/3
(2)
因为Sn=4An－3
则S1=A1=4A1-3
3A1=3
A1=1
B(n+1)=An+Bn
B(n+1)-Bn=An
Bn-B(n-1)=A(n-1)
***************
B2-B1=A1 迭加得
B(n+1)-B1=A1+A2+.....An
=1*((4/3)^n-1)/(4/3-1)
=((4/3)^n-1)/1/3
=3(4/3)^n-3
B(n+1)=3(4/3)^n-3+B1=3(4/3)^n-3+2=3(4/3)^n-1=3*3/4*(4/3)^(n+1)-1=9/4*(4/3)^(n+1)-1
所以通项公式
Bn=9/4*(4/3)^n-1
=3^2*4^(-1)*4^n*3^(-n)-1
=3^(2-n)*4^(n-1)-1
=4^(n-1)/3^(n-2)-1

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