在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB＋BC＋CA＞1/2（AP＋BP＋CP）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 10:59:26

在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB＋BC＋CA＞1/2（AP＋BP＋CP）
在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB＋BC＋CA＞1/2（AP＋BP＋CP）

在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB＋BC＋CA＞1/2（AP＋BP＋CP）
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思路：可以直接证明AB+BC+CA>AP+BP+CP.
证明：延长AP,交BC与点D.
在△PBD中 BD+PD>BP①
在△ACD中 AC+CD>AD②
①+②得 BD+PD+AC+CD>BP+AD
(BD+CD)+AC+PD>BP+(AP+PD)
BC+AC+PD>BP+AP+PD
AC+BC>AP+BP③
同理可得 AB+AC>BP+CP④
AB+BC>AP+CP⑤
③+④+⑤得 2AB+2AC+2BC>2AP+2BP+2CP
即 AB+AC+BC>AP+BP+CP
∴AB+BC+CA>1/2(AP+BP+CP)
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因为三角形中两边之和大于第三边，所以
PA+PF>AF (1)
PF+PB>FB (2)
PB+PD>BD (3)
PD+PC>DC (4)
PC+PE>CE (5)
PE+PA>EA (6)
注意到PA+PD=AD,PB+PE=BE,PC+PF=CF 以及 AF+BF=AB,BD+DC=BC,CE+EA=AC
将以上6式相加即知左边...

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