作业帮平行四边形ABCD中,AB=5,AD=8,∠A=120°,过点A任意引直线MN与CD相交,设顶点B,C,D到MN的距离之和为d,求d的最大值和最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 05:43:11
平行四边形ABCD中,AB=5,AD=8,∠A=120°,过点A任意引直线MN与CD相交,设顶点B,C,D到MN的距离之和为d,求d的最大值和最小值.
平行四边形ABCD中,AB=5,AD=8,∠A=120°,过点A任意引直线MN与CD相交,设顶点B,C,D到MN的
距离之和为d,求d的最大值和最小值.
平行四边形ABCD中,AB=5,AD=8,∠A=120°,过点A任意引直线MN与CD相交,设顶点B,C,D到MN的距离之和为d,求d的最大值和最小值.
分别过顶点B,C,D作直线MN的垂线,垂足分别是F,G,H
当直线MN 与CD边相交时,设交点为E
因为S ΔADE+SΔACE=½S□ABCD=SΔABE
CH+DH=BF
故当MN⊥AB时
BF的最大值是AB=5
此时,d的最大值是2BF=2AB=10
当E与D重合时；DH取得最小值
DH=0
此时；CH=BF=5√3/2
综上所述：dmax=5
dmin=5√3
按照题意我们画出平行四边形ABCD，过点A的直线MN交BC于点E，过点D,B,C分别作直线MN的垂线，垂足记为G,H,F（F在AE的延长线上）
已知∠A=120°，则∠B=∠D=60°，我们设∠ADG=∠EBH=a°(0≤a≤60)，
那么,DG=8cosa,CF=8cosa-5cos(60-a),BH=BEcosa=(BC-CE)cosa=(8-[8cosa-5cos(...
全部展开
按照题意我们画出平行四边形ABCD，过点A的直线MN交BC于点E，过点D,B,C分别作直线MN的垂线，垂足记为G,H,F（F在AE的延长线上）
已知∠A=120°，则∠B=∠D=60°，我们设∠ADG=∠EBH=a°(0≤a≤60)，
那么,DG=8cosa,CF=8cosa-5cos(60-a),BH=BEcosa=(BC-CE)cosa=(8-[8cosa-5cos(60-a)]/cosa)cosa,
那么d=8cosa+8cosa-5cos(60-a)+(8-[8cosa-5cos(60-a)]/cosa)cosa;
看到这里LZ不要觉得好像很复杂，这道题的关键就是用未知数把三段长度表达出来，也许以前我们在求极值的时候习惯把X当做未知变量，但在这道题目里a是变量也无妨，而且它的取值范围也是确定的，上式化简后我们得到一个非常简单的式子d=16cosa,当0≤a≤60时，a=0cosa取得最大值，即d=16,也就是当直线MN⊥BC时，d有最大值。
在0≤a≤60范围内，cos函数是递减函数，那么最小值就是当a取60°的时候，最小值为8
收起