作业帮设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则A与B交集在实数范围内的补集?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 14:21:39
![设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则A与B交集在实数范围内的补集?](/uploads/image/z/6081598-46-8.jpg?t=%E8%AE%BE%E9%9B%86%E5%90%88A%3D%7Ba%7Cf%28x%29%3D8x%5E3-3ax%5E2%2B6x%E6%98%AF%280%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%29%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%7D%2CB%3D%7By%7Cy%3D5%2F%28x%2B2%29%2Cx%E2%88%88%5B1%2C3%5D%7D%E5%88%99A%E4%B8%8EB%E4%BA%A4%E9%9B%86%E5%9C%A8%E5%AE%9E%E6%95%B0%E8%8C%83%E5%9B%B4%E5%86%85%E7%9A%84%E8%A1%A5%E9%9B%86%3F)
设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则A与B交集在实数范围内的补集?
设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则
A与B交集在实数范围内的补集?
设集合A={a|f(x)=8x^3-3ax^2+6x是(0,正无穷)上的增函数},B={y|y=5/(x+2),x∈[1,3]}则A与B交集在实数范围内的补集?
根据题意B集合是很好算出来的,因为y=5/(x+2)在[1,3]上为减函数,所以y∈[1,5/3],故B=[1,5/3]；
问题关键是A集合,我们翻译一下：
f(x)=8x^3-3ax^2+6x 在(0,∞)为增函数,所以其一阶导函数f'(x)≥0在x∈(0,∞)上恒成立,即：
f'(x)=24x^2-6ax+6≥0在x∈(0,∞)上恒成立,亦即：
4x^2-ax+1≥0 在x∈(0,∞)上恒成立.
现在我们设g(x)=4x^2-ax+1,我们需要求的就是x∈(0,∞),g(x)≥0是的a的范围.
注意：g(x)是开口向上的抛物线,且与y轴交于(0,1)点.
①当对称轴x=a/8≤0,a≤0时,x∈(0,∞)时,g(x)≥0恒成立,满足；
②当对称轴x=a/8>0,a>0时,只需要Δ≤0即可满足g(x)在x∈(0,∞)上恒大于等于0,即：
a^2-16≤0,解得a∈[-4,4],而a>0,故a∈(0,4]；
综上有a∈(-∞,4],故A=(-∞,4]；故A∩B=[1,5/3],故其补集为(-∞,1)∪(5/3,∞)