作业帮已知f(x)=(bx+1)/(ax+1)^2(x≠-1/a,a>0),且f(1)=16为底2的对数,f(-2)=1.（1）求函数f(x)的表达式；（2）已知数列{xn}的项满足xn=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4；（3）猜想{xn}的通项公式,并用数学归纳
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 11:25:41
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已知f(x)=(bx+1)/(ax+1)^2(x≠-1/a,a>0),且f(1)=16为底2的对数,f(-2)=1.（1）求函数f(x)的表达式；（2）已知数列{xn}的项满足xn=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4；（3）猜想{xn}的通项公式,并用数学归纳
已知f(x)=(bx+1)/(ax+1)^2(x≠-1/a,a>0),且f(1)=16为底2的对数,f(-2)=1.
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）已知数列{xn}的项满足xn=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4；
（3）猜想{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明.
已知f(x)=(bx+1)/(ax+1)^2(x≠-1/a,a>0),且f(1)=16为底2的对数,f(-2)=1.（1）求函数f(x)的表达式；（2）已知数列{xn}的项满足xn=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4；（3）猜想{xn}的通项公式,并用数学归纳
f(1)=log[16]2=1/4
f(1)=(b+1)/(a+1)^2=1/4
即 4(b+1)=(a+1)^2
f(-2)=(-2b+1)/(-2a+1)^2=1
即 1-2b=(2a-1)^2
联立两式,有：a1=1,a2=-1/3 ,而a>0
所以 a=1,再代入有,b=0
即 f(x)=1/(x+1)^2
1-f(n)=1-1/(n+1)^2=n(n+2)/(n+1)^2
所以
1-f(1)=3/4
1-f(2)=8/9
1-f(3)=15/16
1-f(4)=24/25
x1=3/4
x2=3/4*8/9=2/3=4/6
x3=2/3*15/16=5/8=5/8
x4=5/8*24/25=3/5=6/10
猜想 x[n]=(n+2)/(2(n+1))
n=1时显然成立
假设n=k时成立,即 x[k]=(k+2)/(2(k+1))
则 n=k+1时,有：
x[k+1]=x[k]*(k+1)(k+3)/(k+2)^2
=(k+2)/(2(k+1))*(k+1)(k+3)/(k+2)^2
=(k+3)/(2(k+2))
也成立,所以结论成立.