设函数在F(X)上连续,在(1,0)内可导,试证:至少存在一点ξ ∈(0,1),使f'(ξ )=2ξ[f(1)-f(0)]

设函数在F(X)上连续,在(1,0)内可导,试证:至少存在一点ξ ∈(0,1),使f'(ξ )=2ξ[f(1)-f(0)]
设函数在F(X)上连续,在(1,0)内可导,试证:至少存在一点ξ ∈(0,1),使f'(ξ )=2ξ[f(1)-f(0)]

设函数在F(X)上连续,在(1,0)内可导,试证:至少存在一点ξ ∈(0,1),使f'(ξ )=2ξ[f(1)-f(0)]
构造函数G(x)=f(x)-(x的平方）[f(1)-f(0)]
G(1)=f(1)-[f(1)-f(0)]=f(0)
G(0)=f(0)-0=f(0)由柯西中值定理知
存在一点ξ 使得G'(ξ )=0
G'(x )=f'(x )-2x[f(1)-f(0)]
G'(ξ )=f'(ξ )-2ξ[f(1)-f(0)]=0即存在点ξ 使得f'(ξ )=2ξ[f(1)-f(0)]