作业帮数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+b,n=1, 数列{an}的前n项和为Sn1）求A与B的值；（2）证明：数列{an}为等差数列；（3）证明：不等式根号5amn-根号aman>1对任何正整数m,n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 04:16:53
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+b,n=1, 数列{an}的前n项和为Sn1）求A与B的值；（2）证明：数列{an}为等差数列；（3）证明：不等式根号5amn-根号aman>1对任何正整数m,n
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+b,n=1, 数列{an}的前n项和为Sn
1）求A与B的值；（2）证明：数列{an}为等差数列；（3）证明：不等式根号5amn-根号aman>1对任何正整数m,n都成立。 主要回答第三问
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=An+b,n=1, 数列{an}的前n项和为Sn1）求A与B的值；（2）证明：数列{an}为等差数列；（3）证明：不等式根号5amn-根号aman>1对任何正整数m,n
由已知得：S1=1,S2=7,S3=18
令n=1,n=2,得：-3*7-7*1=A*1+B,2*18-12*7=2A+B
解得：A=-20,B=-8
（2）证明(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8
则 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28
两式相减,得：(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20
(5n-3)Sn+2-(5n-3)Sn+1-(5n+2)Sn+1+(5n+2)Sn=-20
(5n-3)an+2-(5n+2)an+1=20
则 (5n+2)an+3-(5n+7)an+2=20
两式相减,得：(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0
an+3-2an+2+an+1=0
又已知a1=1,a2=6,a3=11,
综上,an+2-2an+1+an=0即2an+1=an+an+2
证得{an}为等差数列
（Ⅰ）由已知，得S1=a1=1，S2=a1+a2=7，S3=a1+a2+a3=18 由（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，知 -3S2-7S1=A+B2S3-12S2=2A+B ，即 A+B=-282A+B-48 解得A=-20，B=-8． （Ⅱ）由（Ⅰ）得（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=-20n-8① 所以（5n-3）Sn+2-（5n+7）Sn+1=-20n-28② ②-①得（5n-3）Sn+2-（10n-1）Sn+1+（5n+2）Sn=-20③ 所以（5n+2）Sn+3-（10n+9）Sn+2+（5n+7）Sn+1=-20④ ④-③得（5n+2）Sn+3-（15n+6）Sn+2+（15n+6）Sn+1-（5n+2）Sn=0． 因为an+1=Sn+1-Sn 所以（5n+2）an+3-（10n+4）an+2+（5n+7）an+1=0 因为（5n+2）≠0 所以an+3-2an+2+an+1=0 所以an+3-an+2=an+2-an+1，n≥1 又a3-a2=a2-a1=5 所以数列{an}为等差数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=1+5（n-1）=5n-4， 要证 5amn - aman ＞1 只要证5amn＞1+aman+2 aman ， 因为amn=5mn-4，aman=（5m-4）（5n-4）=25mn-20（m+n）+16， 故只要证5（5mn-4）＞1+25mn-20（m+n）+16+2 aman ， 即只要证20m+20n-37＞2 aman ， 因为2 aman ≤am+an=5m+5n-8＜5m+5n-8+（15m+15n-29）=20m+20n-37 所以命题得证． 望采纳。 