作业帮证明y=x3-3x在[1,正无穷)上是增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 14:41:10
证明y=x3-3x在[1,正无穷)上是增函数
证明y=x3-3x在[1,正无穷)上是增函数
证明y=x3-3x在[1,正无穷)上是增函数
上面的几个答案都是比较基础的.
现在教你一个高级一点的方法：
先求出y对x的导数：y'=3*x^2-3=3*(x^2-1)
由理论可知：y'>=0时,y=x^3-3*x是递增的
而在[1,正无穷)时,y'很显然是大于或等于0的
所以y=x^3-3*x在[1,正无穷)上是增函数
F(x)= y = x^3-3x
F(x + a) = (x+a)^3 - 3(x+a)
F(x + a)-F(x) = (x+a)^3 - x^3 -3a
= [(x+a) - x] * [(x+a)^2 + (x+a)x + x^2] - 3a
= a * [3x^2 + 3ax + a^2 - 3]
全部展开
F(x)= y = x^3-3x
F(x + a) = (x+a)^3 - 3(x+a)
F(x + a)-F(x) = (x+a)^3 - x^3 -3a
= [(x+a) - x] * [(x+a)^2 + (x+a)x + x^2] - 3a
= a * [3x^2 + 3ax + a^2 - 3]
由于 3x^2 - 3 = 3* (x+1)(x-1) >= 0 ; 3ax > 0; a^2> 0; a > 0
所以 F(x + a) > F(x), 所以 F（x） 在[1,正无穷)上是增函数
收起
设x2>x1>=1
f(x2)-f(x1)=(x2)^3-3(x2)-(x1)^3+3(x1)=(x2)^3-(x1)^3-3[(x2)-(x1)]=(x2-x1)[(x2)^2+(x1)^2+(x1)(x2)]-3[(x2)-(x1)]=(x2-x1)[(x2)^2+(x1)^2+(x1)(x2)-3]=)]=(x2-x1){[(x2)-(x1)]^2+3[(x1)(x2)-1]}
(x2-x1)>0
(x1)(x2)>1
所以上式大于0
所以是增函数
dy=3x^2-3
在[1，正无穷]上dy>0,所以是增函数