证明矩阵A正定的充要条件为它的正惯性指数与秩都等于n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 07:34:56

证明矩阵A正定的充要条件为它的正惯性指数与秩都等于n
证明矩阵A正定的充要条件为它的正惯性指数与秩都等于n

证明矩阵A正定的充要条件为它的正惯性指数与秩都等于n
首先要知道结论:非退化的线性变换不改变二次型的正定性
故我们不妨设 A = diag( d1,d2,…,dn )
设 f(x1,x2,...,xn) = X^TAX = d1x1^2 + .+ dnxn^2.
必要性
因为A正定,所以对任意的X = (x1,x2,…,xn)^T ≠ O,有 f(x1,x2,...,xn) = X^TAX > 0,
取 X = ei = (0,…,0,1,0,…,0)^T,(i=1,2,…,n),则
ei^T A ei = di > 0 (i=1,2,…,n)
所以A的正惯性指数与秩都等于n.
充分性
如果 di > 0 ( i = 1,2,… ,n),则对任意的 X = (x1,x2,…,xn)^T ≠ O,至少有一个分量 xi ≠0,
故 f(x1,x2,...,xn) = d1x1^2 + .+ dnxn^2 > 0,即 f(x1,x2,...,xn) 是正定二次型,即有A是正定矩阵.

设 A = diag( d1,d2,…,dn )
设 f(x1, x2, ..., xn) = X^TAX = d1x1^2 + .... + dnxn^2.
因为A正定, 所以对任意的X = (x1, x2, …, xn)^T ≠ O, 有 f(x1, x2,..., xn) = X^TAX > 0,
取 X = ei = (0,…,0,1,0,…,0)^T, (i=...

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设 A = diag( d1,d2,…,dn )
设 f(x1, x2, ..., xn) = X^TAX = d1x1^2 + .... + dnxn^2.
因为A正定, 所以对任意的X = (x1, x2, …, xn)^T ≠ O, 有 f(x1, x2,..., xn) = X^TAX > 0,
取 X = ei = (0,…,0,1,0,…,0)^T, (i=1,2,…,n), 则
ei^T A ei = di > 0 (i=1,2,…,n)
所以A的正惯性指数与秩都等于n.
充分性
如果 di > 0 ( i = 1,2,… ,n), 则对任意的 X = (x1, x2, …, xn)^T ≠ O, 至少有一个分量 xi ≠0,
故 f(x1, x2, ..., xn) = d1x1^2 + .... + dnxn^2 > 0, 即 f(x1, x2, ..., xn) 是正定二次型, 即有A是正定矩阵.

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证明矩阵A正定的充要条件为它的正惯性指数与秩都等于n 大学高等代数矩阵证明题（合同标准型）设A为实对称矩阵,则1)存在正实数t,使tE+A正定；2)存在正实数t,使E+tA正定；3)若可逆,则A与A逆有相同的正、负惯性指数,特别地,A正定的充要条件是A逆正怎样证明：一个矩阵为正定矩阵的充要条件为它的顺序主子式都为正?大一内容 n阶矩阵a是正定阵,证明a*也是正定阵,使用正惯性指数证明. 刘老师帮我证明一下刘老师您好帮我证明一下必要性 n元二次型f(x1,x2,...,xn)=x^TAx正定（实对称矩阵A正定)的充要条件,是f的正惯性指数等于n 请用反证法设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 实对称矩阵A正定的充要条件是A的伴随矩阵为正定的,为什么? 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n 设A为半正定矩阵,证明:对任意的正实数ε,εE+A为正定矩阵证明A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵U,使A=U'U 证明实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数如何证明实对称矩阵A与B有相同的正负惯性指数是他们合同的充要条件? 线性代数实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是它与单位矩阵合同· 为什么二次型正定,它的正惯性指数p=n呢为什么负惯性指数为零不是实二次型f（x1,x2,……,xn)=XT A X为正定的充要条件? 设A为n阶正阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵几个证明题关于正定矩阵的若A使正定矩阵,证明A*也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵.证明A+B也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵,证明AB正定的充要条件是AB=BA设A可逆,证明ATA正定请教一下对称正定矩阵的几个定义.正定：正惯性指数等于矩阵的阶数,所有特征值>0 什么叫正惯性指数?特征值又是什么?还是不太明白特征值，是指主对角线上的元素(Aii)么？