一道不定积分的图题目,∫1/（1+x^2）^2dx 看似很简单,可是做不来啊!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 04:30:54

一道不定积分的图题目,∫1/（1+x^2）^2dx 看似很简单,可是做不来啊!
一道不定积分的图题目,
∫1/（1+x^2）^2dx 看似很简单,可是做不来啊!

一道不定积分的图题目,∫1/（1+x^2）^2dx 看似很简单,可是做不来啊!
令x=tant
原式=sec^2 t/sec^4 tdt=cos^2 tdt=(1+cos2t)/2dt=t/2+sin2t/4+C
代会原式为arctanx/2+sin(2arctanx)/4+C

1/（1+x^2）^2 = 1/(1+x^2) * 1/(1+x^2) = 1/(1+x^2) * [ 1 - x^2 / (1+x^2) ] = 1/(1+x^2) - x^2 / (1+x^2)^2
1/(1+x^2)的积分是ArcTan[x]
∫ x^2 / (1+x^2)^2 dx
= ∫ x * x/(1+x^2)^2 dx
= -1/2 ∫ x d ...

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1/（1+x^2）^2 = 1/(1+x^2) * 1/(1+x^2) = 1/(1+x^2) * [ 1 - x^2 / (1+x^2) ] = 1/(1+x^2) - x^2 / (1+x^2)^2
1/(1+x^2)的积分是ArcTan[x]
∫ x^2 / (1+x^2)^2 dx
= ∫ x * x/(1+x^2)^2 dx
= -1/2 ∫ x d (1/(x^2+1))
= -1/2 [ x / (x^2+1) - ∫ 1/(x^2+1) dx ]
= -1/2 [ x / (x^2+1) - ArcTan[x] ]
所以原式 = 1/2 [ ArcTan[x] - x / (x^2+1) ] + C

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