作业帮△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合）,△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE．（1）如图（a）所示,当点D在线段BC上时
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:56:05
△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合）,△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE．（1）如图（a）所示,当点D在线段BC上时
△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合）,△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE．
（1）如图（a）所示,当点D在线段BC上时．
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由；
（2）如图（b）所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3）在（2）的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由．
△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合）,△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE．（1）如图（a）所示,当点D在线段BC上时
(1)①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°
又∵∠EAB=∠EAD－∠BAD,∠DAC=∠BAC－∠BAD,
∴∠EAB=∠DAC.
∴△AEB≌△ADC
②方法一：由①,得△AEB≌△ADC,
∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABE=∠BAC.
∴EB∥GC
又∵EG∥BC,
∴四边形BCGE是平行四边形
方法二：证出△AEG≌△ADB,
得EG=AB=BC
由①,得△AEB≌△ADC.
得BE=CG.
∴四边形BCGE是平行四边形
(2)①②都成立
(3)当CD=CB(BD=2CD或CD=1/2BD或∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形
理由：方法一：由①,得△AEB≌△ADC,
∴BE=CD.
又∵CD=CB,
∴BE=CB
由②,得四边形BCGE是平行四边形,
∴四边形BCGE是菱形
方法二：由①,得△AEB≌△ADC,
∴BE=CD
又∵四边形BCGE是菱形,
∴BE=CB.
∴CD=CB
方法三：∵四边形BCGE是平行四边形,
∴BE∥CG,EG∥BC,
∴∠FBE=∠BAC=60°,∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°.
∴△BEF是等边三角形.
又∵AB=BC,四边形BCGE是菱形,
∴AB=BE=BF.
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°.
∵∠EAD=60°
∴∠CAD=30°
(1)①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°
又∵∠EAB=∠EAD－∠BAD，∠DAC=∠BAC－∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC.
∴△AEB≌△ADC
②方法一：由①，得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°，<...
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(1)①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°
又∵∠EAB=∠EAD－∠BAD，∠DAC=∠BAC－∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC.
∴△AEB≌△ADC
②方法一：由①，得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC.
∴EB∥GC
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形
方法二：证出△AEG≌△ADB，
得EG=AB=BC
由①，得△AEB≌△ADC.
得BE=CG.
∴四边形BCGE是平行四边形
(2)①②都成立
(3)当CD=CB(BD=2CD或CD=1/2BD或∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时，四边形BCGE是菱形
理由：方法一：由①，得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD.
又∵CD=CB，
∴BE=CB
由②，得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形
方法二：由①，得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB.
∴CD=CB
方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°.
∴△BEF是等边三角形.
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF.
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°.
∵∠EAD=60°
∴∠CAD=30°
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