作业帮HDOJ上1724 的关于椭圆面积的求法有一个标准的椭圆,x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ,有两条垂直于x轴的线分别于x轴的左右两侧切割椭圆,求两先之间所夹的部分的面积如图：关于椭圆的面积是S = TT * A * B
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 07:42:20
HDOJ上1724 的关于椭圆面积的求法有一个标准的椭圆,x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ,有两条垂直于x轴的线分别于x轴的左右两侧切割椭圆,求两先之间所夹的部分的面积如图：关于椭圆的面积是S = TT * A * B
HDOJ上1724 的关于椭圆面积的求法
有一个标准的椭圆,x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ,有两条垂直于x轴的线分别于x轴的左右两侧切割椭圆,求两先之间所夹的部分的面积
如图：关于椭圆的面积是S = TT * A * B
HDOJ上1724 的关于椭圆面积的求法有一个标准的椭圆,x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ,有两条垂直于x轴的线分别于x轴的左右两侧切割椭圆,求两先之间所夹的部分的面积如图：关于椭圆的面积是S = TT * A * B
这个问题最直接的办法就是定积分,但灵活的运用高中数学的知识也是可以解决的.
如图作椭圆x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1(a>b>0)与圆x^2+y^2=a^2
不难得出：椭圆可由圆压缩到原来的b/a得到,S(椭圆)=b/a*S（圆）=b/a*TT *a^2=TT * a*b（这里略去证明）
这个经验告诉我们,可以应用函数图像的伸缩变换（伸缩前后面积比等于伸缩比）,将椭圆拉伸成圆 ,应用圆的面积知识来解(这个结论的证明会用到定积分,略去)
如图.作直线x=m,x=n,其中：-a<m<0<n<a
于是：S(曲边梯形EFGH)=b/a*S(曲边梯形ABCD)
模OL=-m,模OM=n,模OA=a
在直角三角形AOL中,AL=√(a^2-m^2)
所以S（三角形AOC）=-m√(a^2-m^2)
设∠AOL=α,则cosα=OL/AO=-m/a,α=arc cos（-m/a）
所以S（扇形AOC）=1/2*a^2*2α=a^2 *arc cos（-m/a）
S(弓形AIC)= S（扇形AOC）- S（三角形AOC）=a^2 *arc cos（-m/a）+m√(a^2-m^2)-
同理：S(弓形BJD)= a^2 *arc cos（n/a）-n√(a^2-n^2)(就用n替换-m即可)
则- S(曲边梯形EFGH)= S（圆）- S(弓形AIC)- S(弓形BJD)= TT *a^2-a^2 *arc cos（-m/a）-m√(a^2-m^2) –a^2 *arc cos（n/a）+n√(a^2-n^2)=a^2[TT- arc cos（-m/a）- arc cos（n/a）] -m√(a^2-m^2) +n√(a^2-n^2)
S(曲边梯形EFGH)=b/a*S(曲边梯形ABCD)=ab[TT- arc cos（-m/a）- arc cos（n/a）]-b/a* m√(a^2-m^2)+b/a* n√(a^2-n^2)
可以用微积分。 设两直线与x轴交点为L，R，则面积为：
这个好象是用标准的微积分来做比较简单。
另外题目缺少条件，两条直线的确切位置没有说明。如果直线位置任意，所夹部分的面积是（0，TT * A * B）都有可能， 可假设左边直线是x=m,右边直线是
x=n, 这样蓝色部分的面积与m, n有关。