作业帮已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为1 -1 2 10 A+1 0 1 ,若该方程组无解,则A的取值为?0 0 A^2-A-2 03元非齐次线性方程组X1-2X2=0X2+2X3=0 的基础解系中所含解向量的个数为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:52:03
已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为1 -1 2 10 A+1 0 1 ,若该方程组无解,则A的取值为?0 0 A^2-A-2 03元非齐次线性方程组X1-2X2=0X2+2X3=0 的基础解系中所含解向量的个数为
已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为1 -1 2 1
0 A+1 0 1 ,若该方程组无解,则A的取值为?
0 0 A^2-A-2 0
3元非齐次线性方程组X1-2X2=0
X2+2X3=0 的基础解系中所含解向量的个数为
已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为1 -1 2 10 A+1 0 1 ,若该方程组无解,则A的取值为?0 0 A^2-A-2 03元非齐次线性方程组X1-2X2=0X2+2X3=0 的基础解系中所含解向量的个数为
方程组无解,则系数矩阵的秩 不等于 增广矩阵的秩,
即 A^2-A-2=0,A+1=0,得 A＝-1.
是“三元齐次方程” !系数矩阵 A=
[1 -2 0]
[0 1 2]
初等行变换为
[1 0 4]
[0 1 2]
r(A)=2, 则基础解系中所含解向量的个数是 3-2=1 个,
即基础解系是 (4,2,-1)^T
我来试试吧。。
1、
（1）∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征
设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx
上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x
∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。
即(A^3)x=(λ^3...
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我来试试吧。。
1、
（1）∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征
设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx
上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x
∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。
即(A^3)x=(λ^3)x
又∵A^3=O,∴(A^3)x=(λ^3)x=0 ∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0
即三阶方阵A的3个特征值全为0.
（2）这题我觉得不能。
∵矩阵A能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。
对于题中的三阶方阵A，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0.
下面用反证法证明。
假设三阶方阵A能与对角阵相似。
则A存在3个线性无关的特征向量。
则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有三个向量，即Ax=0的解集的秩为3
设Ax=0的解集为S，则R(A) R(S)=n=3
∵R(S)=3,∴R(A)=0
即矩阵A的秩为0.当且仅当A=O
又∵根据题设条件，A^2≠O,显然A≠O，与上面推出的A=O矛盾
∴假设不成立，即A不能和一个对角阵相似
2、证明：
设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r
设向量组β1，β2，...，βn是与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组
∵向量组β1，β2，...，βn线性无关 ∴向量组的秩R(β1，β2，...，βn)=n
又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价
∴R(α1，α2，...，αr)=R(β1，β2，...，βn)=n 即n=r
向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr
且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示
即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1 ki2*α2 ... kir*αr
∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量
又∵齐次线性方程组Ax=0的解集中的最大无关组的秩为r
∴向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的解集中的一个最大无关组
即向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的一个基础解系，命题得证
不懂写的对不对。我也刚学的。错了请指教。。
请采纳。
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