设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 18:00:03

设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵
设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵

设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵
证明：
因为A实对称,所以存在正交矩阵U,使得U'AU=diag对角阵,对角线上是A的n个特征值.
由题U'(AB+B'A)U与AB+B'A合同,也正定,其顺序主子式必定大于0.
U'(AB+B'A)U=U'AUU'BU+U'B'UU'AU=diagU‘BU+U’B'Udiag
记P=U‘BU 那么U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag.
如果A的特征值中有0,不妨设diag对角阵上第一个元素a11为0（也就是A的特征之中有0）
根据U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag.和矩阵的乘法运算,这个矩阵的第一行第一列元素也为0.
这就与顺序主子式都大于零矛盾了.所以A的n个特征值都不为0,A可逆.

设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵. 设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵. 设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵设A,B均为n阶对称矩阵,则AB对称的充分必要条件是：AB=BA 设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A为n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明AB为反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A是n阶实对称证明a可逆的充分必要条件是存在n阶实矩阵b使得AB+B转置A是正定设A是n阶正定矩阵,AB是n阶实对称矩阵,证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零设A,B为n阶矩阵,且A,B为对称阵,证明 B的转置乘以AB也是对称阵设A,B都是n阶矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设a,b为n阶对称矩阵.证明:AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA,即A与B可交换证明中为什设a,b为n阶对称矩阵.证明:AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA,即A与B可交换证明中为什么B的转置A的转置线性代数中关于正定矩阵的一道题设A是n阶实对称矩阵,AB+B的转置乘A是正定矩阵,证明A可逆. 设A,B均为N阶对称矩阵,则AB对称的充分必要条件是:AB=BA.试证:对于任意方阵A,A+A转置.AA转置,A转置A是对称矩阵谢了(证明题) 设,AB均为n阶的对称矩阵,证明：AB为对称矩阵的充要条件是 A与B可交换设A,B为N阶对称阵证明AB为对称阵的充要条件为AB=BA 设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,证：3A-B的平方是对称矩阵设a、b是n阶对称矩阵,试证明a+b也是对称矩阵