作业帮A是3阶矩阵,α1,α2,α3,是3维线性无关的列向量,且Aα1=4α1-4α2+3α3,Aα2=-6α1-α2+α3,Aα3=0.求求A的特征向量?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 16:34:29
A是3阶矩阵,α1,α2,α3,是3维线性无关的列向量,且Aα1=4α1-4α2+3α3,Aα2=-6α1-α2+α3,Aα3=0.求求A的特征向量?
A是3阶矩阵,α1,α2,α3,是3维线性无关的列向量,且Aα1=4α1-4α2+3α3,Aα2=-6α1-α2+α3,Aα3=0.求
求A的特征向量?
A是3阶矩阵,α1,α2,α3,是3维线性无关的列向量,且Aα1=4α1-4α2+3α3,Aα2=-6α1-α2+α3,Aα3=0.求求A的特征向量?
A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B
其中 B =
4 -6 0
-4 -1 0
3 1 0
记 P = (α1,α2,α3)
由 α1,α2,α3 线性无关,所以P可逆.
所以有 P^-1AP = B.
|B-λE| = λ[(4-λ)(-1-λ)-24] = λ(λ^2-3λ-28)
= λ(λ-7)(λ+4).
所以 B 的特征值为 0,7,-4.
故与B相似的矩阵A的特征值为 0,7,-4.
下面求B的特征向量.
BX=0 的基础解系为:a1=(0,0,1)'
(B-7E)X=0 的基础解系为:a2=(14,-7,5)'
(B+4E)X=0 的基础解系为:a3=(12,16,-13)'.
设λ是B的特征值,x是B的属于λ的特征向量,则 Bx=λx.
因为 P^-1AP = B,所以 P^-1APx = Bx = λx
所以 A(Px) = λ(Px).
即有:若x是B的属于特征值λ的特征向量,则Px是A的属于特征值λ的特征向量
所以,A的线性无关的特征向量为
b1 = Pa1=(1,0,1)'.
b2 = Pa2=(19,-35,-2)'.
b3 = Pa3=(-1,-8,3)
结论:
A的属于特征值0的特征向量为:k1b1,k1为任意非零常数.
A的属于特征值7的特征向量为:k1b2,k2为任意非零常数.
A的属于特征值-4的特征向量为:k1b3,k3为任意非零常数.
α3是一个特征向量，因为它满足(A-0I)α3=0
设x=kα1 + m α2 + n α3是一个特征向量,s是对应特征值，则
Ax = kAα1 + m Aα2 + n Aα3
= (4k-6m)α1 + ( -4k -m)α2
很显然，n必须为0才满足
为了满足Ax=sx
(4k-6m)α1 + ( -4k -m)α2 = skα1 + smα2...
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α3是一个特征向量，因为它满足(A-0I)α3=0
设x=kα1 + m α2 + n α3是一个特征向量,s是对应特征值，则
Ax = kAα1 + m Aα2 + n Aα3
= (4k-6m)α1 + ( -4k -m)α2
很显然，n必须为0才满足
为了满足Ax=sx
(4k-6m)α1 + ( -4k -m)α2 = skα1 + smα2
由于如果x是特征，(1/k)x也是，所以上式可以假定k=1
所以
4-6m = s
-4-m = sm
两式相除得到
(4-6m)m = -4-m
6m^2 -5m -4 = 0
(2m+1)(m-4) =0
m=-1/2, m=4
带入上门式子可以得到两个特征向量，加上a3即可
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