为什么向量个数等于维数线性相关

为什么向量个数等于维数线性相关
为什么向量个数等于维数线性相关

为什么向量个数等于维数线性相关
问题太含糊了,没说明白.不知道你想表达的是不是：
向量组的秩与该向量线性空间的维数一样.

知识要点 :
一、 等价向量组及其性质 :
设有两个 维向量组

定义 10.1 如果向量组 中每一个向量组都能由向量组 中的向量线性表示,我们称向量组 可由向量组 线性表示,而向量组也可以由向量组 线性表示,我们称向量组 和向量组 等价.
向量组 能由向量组 线性表示,也就是存在数 ,使
, ...

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知识要点 :
一、 等价向量组及其性质 :
设有两个 维向量组

定义 10.1 如果向量组 中每一个向量组都能由向量组 中的向量线性表示,我们称向量组 可由向量组 线性表示,而向量组也可以由向量组 线性表示,我们称向量组 和向量组 等价.
向量组 能由向量组 线性表示,也就是存在数 ,使
,
如果记
,
,
我们有
,
即
.
定理 10.1 如果向量 可以由向量组 线性表示,而向量组 可以由向量组 线性表示,那么向量 可以由向量组 线性表示.
证明 :由定理条件可知,存在一组数 ,使
,
又存在 矩阵 使
,
于是

可以由向量组 线性表示,其中
.
向量组之间的等价是一种等价关系.它满足以下三条:
1.自反律:向量组 与自身等价;
2.对称律:如果向量组 与向量组 等价,那么,向量组 与向量组 等价;
3.传递律:如果向量组 与向量组 等价,向量组 与向量组 等价,那么向量组 与向量组 等价.
二、 向量组的最大线性无关组和向量组的秩 :
定义 10.2 设 是 维向量组, 如果
1. 在 中有 个向量 线性无关;
2. 对任意的向量 , 向量组 总是线性相关的 ,
那么称 为向量组 的一个最大线性无关组 , 简称为最大无关组 ; 数 称为向量组 的秩, 记做 ; 并规定只含零向量的向量组没有最大线性无关阻挡 , 从而它的秩为 0.
向量组的最大无关组具有如下 性质 :
(1)向量组的最大无关组和向量组本身等价.
(2)向量组线性无关的充分必要条件是它所含的向量个数等于它的秩.
(3)向量组中任意一个向量可以由最大无关组惟一地线性表示.
由此可见,向量组的最大无关组不一定唯一,但是向量组的最大无关组之间是等价的,并且它们所含的向量个数是相等的,这就是向量组的秩.
定理 10.2 设有两个 维向量组

如果向量组 能由向量组 线性表示,且 ,则向量组 线性相关.
证明:记
,
由定理条件,存在 矩阵 使 ,记
,其中 .
因为 ,由推论9.9, 线性相关,即存在 个不全为零的数 ,使
.
同时,这 个不全为零的数 使

即 线性相关.
推论10.3 设有两个 维向量组

若 向量组 可由向量组 线性表示,且向量组 线性无关,那么, .
推论10.4 等价地线性无关向量组所含向量个数相等.
推论10.5 设向量组 的秩为 ,向量组 的秩为 ,如果向量组 能由向量组 线性表示, .
推论10.6 等价的向量组的秩相等.
三、 向量空间的基和维数
定义 10.3 设 是数域 上的向量空间 , 如果
1. 在 中有 个向量 线性无关.
2. 中任意一个向量 可由向量组 线性表示.
则称 是向量空间 的一组基, 称为向量空间 的维数, 并称 是 维向量空间.
如果向量空间没有基 , 那么 的维数为0, 称 是0 维向量空间. 显然,0 维向量空间只含一个零向量 .
如果把向量空间看作是一个向量组 , 那么, 向量空间 的基就是它的一个最大无关组 , 的维数就是它的秩 .
例1 向量空间

的一个基是 , 显然, 个向量 是线性无关的 , 且对任意 ,
.
由此可知, 是实数域 上 维向量空间.
例 2 由向量组 张成的向量空间
,
如果把 看成是向量组 , 那么, 和 等价,如果 是向量组 的一个最大无关组,那么,它也就是向量空间 的一个基, 从而 是 维向量空间.
思考题：
1、 设 是一组 维向量,已知 维基本单位向量组 能由它们线性表示,证明 线性无关.
2、 设 是一组 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任意一个 维向量都可以由它们线性表示.
3． 设向量组 与向量组 的秩相等,且 组能由 线性表示,证明 组与 等价.
4、 设 , ,证明向量组 与向量组 秩相等.
5． 设向量组 证明:
(1) 秩 秩
(2) 秩 秩 +秩
6、 设

验证 : 是 的一个基,并用这个基线性表示 .
7、 由 张成的向量空间记为 ,由 张成的向量空间记为 ,试证:
8． 已知向量组 (I) ,(II) ,如果各向量组的秩分别是 ,证明向量组 的秩是4.

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