数学的由来到底是什么

数学的由来到底是什么
数学的由来到底是什么

数学的由来到底是什么
古代人为了计数,丈量土地.
由最初的结绳记事等计数方法到后来创造性的使用某种符号来计数.

数学的由来
古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但...

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数学的由来
古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成12个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。
柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：
故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域），在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯（Theuth），对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等。
柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》（Meta－physics）第1卷第1章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：1．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：2．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点．
就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。
“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”， “可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（E．Littre 也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（1877年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元10世纪的拜占庭希腊字典“Suidas”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”—词。
“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。
首先，亚里士多德提出， “数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前640？－－546年）在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修（Diogenes Laertius）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Proclus）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特（公元前500－－？年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”， “人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。
对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元2世纪的拉丁作家格利乌斯（Gellius）和公元3世纪的希腊哲学家波菲利（Porphyry）以及公元4世纪的希腊哲学家扬布利科斯（Iamblichus）的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。
这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根（Roger Bacon，1214－－1292年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（Descartes，1596－－1650年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而20世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。
在18世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Montucla）说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。然而19世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而20世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。

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数学由来于游戏

古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很...

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古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成12个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。

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数学的由来
古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但...

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古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成12个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。
柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中，他说：
故事发生在古埃及的洛克拉丁（区域），在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯（Theuth），对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等。
柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全概念化的语言谈论数学了，即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》（Meta－physics）第1卷第1章中，亚里士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说的是否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：1．存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子：2．知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点．
就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮和受到肯定。然而，数学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特性。下面我们将说明数学这一名词的来源。
“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知识”，甚至意味着“可获的东西”， “可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。甚至伟大的辞典编辑人利特雷（E．Littre 也是当时杰出的古典学者），在他编辑的法语字典（1877年）中也收入了“数学”一词。牛津英语字典没有参照梵文。公元10世纪的拜占庭希腊字典“Suidas”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的词条，但没有直接列出“数学”—词。
“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到诗歌，也没有提到诗歌与数学名称专有化之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注意。
首先，亚里士多德提出， “数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯（公元前640？－－546年）在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修（Diogenes Laertius）简短提到外，这一可信性还有一个较迟的而直接的数学来源，即来源于普罗克洛斯（Proclus）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军事战术方面的“爱好者”，甚至还能预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚的成份。赫拉克利特（公元前500－－？年）有一段名言：“万物都在运动中，物无常往”， “人们不可能两次落进同一条河里”。这段名言使柏拉图迷惑了，但赫拉克赖脱却没受到柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。
对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元2世纪的拉丁作家格利乌斯（Gellius）和公元3世纪的希腊哲学家波菲利（Porphyry）以及公元4世纪的希腊哲学家扬布利科斯（Iamblichus）的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。
这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根（Roger Bacon，1214－－1292年）通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿（Descartes，1596－－1650年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而20世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。
在18世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Montucla）说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，或在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的确证。然而19世纪的语源学家却倾向于第一种解释，而20世纪的古典学者却又偏向第二种解释。但我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。

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数学是一门极其重要而又非常特殊的学科。在历史上有很长一段时间它都与其他学科混在一起，难分泾渭。在古希腊的时候，数学与哲学之间的界限非常模糊，不少人认为数学是一种哲学；到文艺复兴时，由于数学在自然科学中的应用日趋广泛，法国数学家达朗贝尔在理论上确立数学为自然科学的一个门类，然而随着数学自身的发展，人们发现它比任何一门自然学科都更具普遍性，甚至在人文和社会学科的领域内它也可大显身手，逐渐地数学取得了独...

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数学是一门极其重要而又非常特殊的学科。在历史上有很长一段时间它都与其他学科混在一起，难分泾渭。在古希腊的时候，数学与哲学之间的界限非常模糊，不少人认为数学是一种哲学；到文艺复兴时，由于数学在自然科学中的应用日趋广泛，法国数学家达朗贝尔在理论上确立数学为自然科学的一个门类，然而随着数学自身的发展，人们发现它比任何一门自然学科都更具普遍性，甚至在人文和社会学科的领域内它也可大显身手，逐渐地数学取得了独立的地位，二十世纪八十年代新版的《大不列颠百科全书》中，数学就已经与科学和哲学并列在了一起。[1]
在我国，数学也一直受到高度的重视，一九一九年蔡元培先生在北大“废科设系”时，曾把数学列为第一系，并解释道：“凡治哲学文学及应用科学者，都要从纯粹科学入手，治纯粹科学者，都要从数学入手，所以各系次序，列数学为第一系。”[2]
时至今日，考察任何一门学科发展的状况，我们都必须先考察它的数学化程度。英国著名的哲学家怀特海（Alfred North Whitehead，1861-1947）甚至这样说：“在今后两千年内，在人类思想领域里具有压倒性的新的情况，将是数学地理解问题占统治地位。”[3]
然而尽管数学有着如此重要的地位，关于它，我们还是有很多东西没有搞清楚，这其中甚至包括了最关键的几个问题：数学知识究竟是先天的还是经验的？它到底是从天而降还是应景而生的？它的对象和目的又是什么？历史上对这些问题的回答可谓五花八门，不一而足，但是归纳起来，不外乎以下几种：一派是经验主义者，即认为数学知识来源于对现实世界的考察和研究，它的目的是要揭露客观事物的规律和结构，持此类观点的人大多是经验主义者和唯物主义者，他们往往强调数学是自然科学的一个分支；一派是柏拉图主义者，他们认为数学知识来源于某个纯精神的世界，研究数学的目的就是要帮助人们认识和接近这个世界，代表人物是古希腊哲学家柏拉图（Platon，约公元前427—347年）；一派是形式主义者，他们认为数学是由人构造出来的，与客观世界无关，数学的真假性取决于系统的无矛盾性或者依靠先验的假定，代表人物是德国数学家希尔伯特（Hilbert，1862—1943）[4]。
本文打算就以上这些观点作一探讨和评述，并在此基础上提出作者自身的见解。

二、 古希腊到文艺复兴时期
古希腊人对数学的认识有一个共同的特点，即把数学和世界等同起来，认为数学就是世界的本质。
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580—500年）认为数是万物的本原，宇宙的和谐与次序都源自某种内在的数学次序。他认为数学知识是先验的，于是探索的重点就从物质转向形式，从感知世界转向了数学逻辑世界。
柏拉图在这方面比毕达哥拉斯走得更远，他认为不可能在可感觉的事物中找到数学概念，因为数学概念是独特的、绝对的纯在物，它来自于理念世界，对柏拉图而言，理念世界才是唯一真实的世界，而具体事物构成的世界则是不真实的、虚幻的，它们只是理念世界的投影或摹仿。数学的对象则是居于感性世界与理念世界的“居间者”，其目的在于看到那些只有用心灵才能看到的理念。[5]
亚里士多德（Aristoteles，公元前384—322）的观点与上述有较大不同，他的思想成为后来经验主义的源头。亚里士多德认为，只有具体的事物才是第一性的，感觉、概念只不过是具体事物的派生物而已，数和理念都不能离开具体事物独立存在，数学来自于现实世界，而不是由数学产生出现实世界，但是他同时认为数学知识是人们从心智上明了的原理出发经过分析而得出来的，甚至从具体对象所作的抽象，也是事先起源于心智的一些总的原理，这又回到了柏拉图那里。[6]
正如毕达哥拉斯学派所说“开端就是整体的一半”，毕氏思想也统领着西方思想的一半，[7]英国哲学家罗素（Russell，1872—1970）曾经说过，所谓柏拉图主义的东西，倘若加以分析，就可以发现本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了。[8]如果说毕达哥拉斯把数学从客观世界中“拯救”了出来的话，那么柏拉图所做的就是给这个神灵找到了一个天堂。
后来的思想发展虽然变化万千，但是大体的框架已定。在漫长的中世纪，没有多少新的理论出笼，无论是宗教界还是异端思想家都只不过是在炒柏拉图和亚里士多德的冷饭。一直到文艺复兴，理性的光芒开始重新闪耀，这段时期，为了对抗教会树立的亚里士多德的教条，也为了解释某些与客观事物远离，似乎是由人们凭空想象出来的数学概念，例如无理数、负数、虚数和微积分等等，柏拉图的观点再度风靡。
比较有影响的有这样一些：意大利哲学家库萨的尼古拉（Nicholas of Cusa，1401-1406）认为数学是从上帝那儿来的，上帝通过数、量、度创造万物；开普勒（Keplev，1571—1630，德国）曾经说：“对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的”；伽利略（G.Galilel，1564—1642，意大利）则坚持只有用数学表达的，才是真实的，他确信普遍而必然的数学真理具有经验以外的起源——上帝。[9]考察这些观点我们发现，无一例外，他们都把数学的源头追述到了上帝那里，数学在这个时期已经部分地成了神学的婢女，无论它自己是否情愿。

三、近代的一些观点
到十七、十八世纪时，人们对数学的认识开始转变，从用数学来论证上帝的英明到用上帝来证明数学的正确，再由上帝按数学设计了世界到世界的运动与上帝无关，上帝逐渐从幕后消失了，然而万变不离其综，无论数学跟上帝有没有关系，人们还是一相情愿地认为它就是真理的象征，而且这种真理性并不依赖于任何客观事物。这一段时期的数学哲学大致分为唯理论、经验论和先验论三个派别，笛卡儿（René Descartes，1596—1650）、穆勒（J•Mill，1773—1836）和康德（Kant，1774—1804）分别是其代表人物。
笛卡儿的数学观跟柏拉图是基本一致的，他认为数学的认识对象并不是现实世界的某个领域，他曾经这样来表述自己的看法：“一定有某种普遍科学能够解释人们关于秩序和度量所能探究的一切而不必涉及任一特殊物，而这种科学的称呼并不是一个奇特的名字，而是古已有之、约定俗成的一个名字，那就是，普遍数学。”[10]莱布尼茨在这一点上与笛卡儿可谓一脉相承，他把数学知识看作是纯理性、纯逻辑的产物，他认为全部算术和几何学都是天赋的，是实际存在于我们自身之中的，只要我们细心加以思考，就可以在心中发现它们，[11]由此出发，他把真理分为两类，一类是理性真理或必然性真理，另一类是事实真理或自然性真理，而数学是属于前一类的，这类真理不必寻源于感觉和经验。
但是在狭隘经验论者约翰·斯图亚特·穆勒的眼里，数学公理只是经验的一种陈述，它既不具有任何客观必然性，也不是什么先验的真理，它们与别的经验之不同仅仅在于它们比较简单，并且具有较宽广的基础。穆勒曾作过这样的阐述：“当人们肯定几何学的结论是必然的真理时，这种必然性实际上仅仅在于，这些结论是正确地从假定推演出来的。这些假定不是必然的，甚至也不是真的；它们或多或少地故意远离真理。……有待研究的是我们相信真理的理由究竟是什么——它们能依据的证据是什么。我回答：它们都是实验真理，都是观察的概括。”极端的经验论者孟克（G.W.Muncke，1772—1847）甚至这样说：“我们更需要的是观察和实验，而不是计算和几何学公式。”
英国经验论哲学家霍布斯（Hobes，1588—1679）曾经用几何公理来论证他的经验论，他认为，几何公理不是天赋的，而是来源于经验，但他同时又认为数学知识并不依赖于感性经验。我们必须看到，由于数学的许多新进展在经验中似乎找不到什么依据，一些哲学上的经验主义者并不持和穆勒相同的观点，比如英国著名的经验论者洛克（1632—1704）和休谟（Hume，1711—1776）就是如此，洛克认为有两种经验：一种是对外物作用的感觉，一种是对内心作用的反省，而数学知识属于后一种，就数学而言，不是观念必须符合于实在，而是事物于观念相符合；休谟则承认数学命题的必然性和先天性，他认为数学命题表明的只是观念之间的关系，而与客观事实完全无关[12]
由于经验论者不能很好地解释为什么个别的经验具有普遍的有效性，唯理论者在这期间一直占据着主导地位，这种局面要等到十九世纪后期才有所转变。
我们再来介绍一下康德的先验论，康德提出数学理性是凭直观构造得来的知识，从而具有先天综合性，他认为数学既不能由感觉经验证实，也不能仅仅由它所涉及的概念的本质联系而得到证实。他曾经这样说：“几何学的命题不是纯粹由我们幻想出来的一种产物的什么规定，因而不能可靠地涉及实在的对象；而是对于空间必然有效，从而对于空间里所有的东西都必然有效的命题。”[13]他的继承人中最为有名的莫过于法国数学家庞加莱（Poincare，1854—1912），庞加莱认为数学归纳法具有普遍性是精神本身的特性，这正是先验的综合判断的实例，从而可以证明康德的先天综合学说，他的思想成为后来数学哲学中直觉主义的先声。

四、二十世纪三大数学哲学流派的理论
十九世纪以来，科学技术有了巨大的发展，数学同样也有了长足的进步。然而随着纯数学研究的日益抽象化，人们逐渐忘记了它的现实根源，这好比当你惊叹于一座摩天大厦的高耸入云时，就开始不由自主地怀疑它是否真的建立在平淡无奇、司空见惯的土壤之上了。
但是数学的发展及时给大家敲了一个警钟，经过漫长的几代人的努力，到二十世纪初，非欧几何终于得到了数学界的公认，这件事对数学思想的发展具有极其重要的影响。我们可以从两个方面来看待这个问题，第一，非欧几何的产生是数学思想离开感性直观，进行抽象的，亦即独立于（相对地）人类的实践而发展的一个里程碑，它的成功把人们的思想从“数学结论必须符合感性直观”这一信仰的束缚中解放了出来。人们开始认识到数学在某种意义上只是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接描摹，这样一来，就使数学获得了极大的自由；第二，非欧几何的产生迫使人们重新来考虑欧氏几何的真理性问题，我们发现，欧氏几何之所以被认为是真理，只不过是因为它来自于我们的视觉观念已经习惯的环境，如果我们生活在另外一种完全不同的环境中，而该环境的几何结构又显著地与欧氏几何不同，我们就会与新的环境相适应，学会理解非欧几何的定律，一如我们现在看待欧氏几何一样，亥姆霍兹（Helmholtz，1821—1894）据此否定了欧氏几何公理的先天特性，还给它本来的世俗经验血统，他同时还认为对“算术公理的起源也必须采取同样的观点。”他的论文被认为是19世纪下半叶数学哲学概念发展中划时代的著作，著名数学史学家克莱因曾经说过：“对算术真理的最沉重的打击来自亥姆霍兹。”[14]
尽管亥姆霍兹花了毕生的精力来力证数学的经验性，他的思想却没能在二十世纪数学哲学的三大学派中占到一席之地——这三大学派分别是逻辑主义、直觉主义和形式主义。在谈到他们之前，我们先来看看与亥姆霍兹同时代的伟大的唯物主义者恩格斯的观点。
恩格斯（F.Egels，1820—1895，德国）同样认为数学来源于现实世界，他在《反杜林论》中这样说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实……正如同在其他思维领域中一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来规律而与现实世界对立……它在以后被应用于世界，虽然它是从这个世界得出来的，并且只表现世界的联系形式的一部分——正是仅仅因为这样，它才是可应用的。”[15]应该说他的分析是比较全面和客观的，他用简洁的语言阐明了数学的本质和特点。恩格斯承认纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义，但并不认为这就可以证明数学的先验性，这种立场是非常正确和难能可贵的，但是他趋向于认为任何数学概念都可以在现实中找到原型，“自然界对这一切想象的数量都提供了原型”，他自己作过一个具体的例子来说明无限的概念来自于现实。从更高的角度来看，恩格斯也许是对的，然而随着某些纯数学理论的日趋抽象化，具备火眼金睛，能够辨别出它准确现实来源的人越来越少，有时候甚至根本就没有，在这种情况下，强调数学概念的现实原型可能会丧失它本来的意义，从而对纯数学的研究起到阻碍作用，因为我们不能断定那些目前没有现实原型的数学研究就毫无意义，比如曾经被认为是无用的数论终于在密码学中派上了用场，这也是恩格斯的观点在数学哲学中影响不大的原因之一。当然，恩格斯是把数学当作辨证的辅助工具和表现形式来看的，他关心的还是哲学上的问题，无论如何，他的理论在当时的数学哲学中独树一帜，且一直到今天，仍然是最具说服力的观点之一。
二十世纪数学哲学三大学派之一的逻辑主义继承的是莱布尼茨的衣钵，代表人物是弗雷格（Frege，1848—1925，德国）和罗素，他们的主要观点是认为数学可以化归为逻辑，而逻辑命题可以先验地认识，并不需要对客观世界进行研究，这样他们又退回到了柏拉图那里。
直觉主义者则继承了康德的理论，代表人物布劳威尔（Luitzen E.J. Bronwer，1881—1967）强调数学概念是由直觉得到的，数学的基础在于一种先验的初始直觉，因此，数学思想反映的不是外部世界的真理性，而仅仅是一种构造性的智力活动。
形式主义的代表人物是希尔伯特，他认为所有的数学概念并没有什么实际的意义，可以用各种符号来表示它们，公理只是一个特定的符号序列，它们自身无所谓真假，只要证明了一个公理系统是无矛盾的，那它就表示了一种真理，从某种意义上而言，形式主义的数学只是一种符号游戏。康托的思想与此类似，他说：“数学在它自身的发展是完全自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前由确切定义引进的概念相协调…..数学的本质在于它的充分自由。”[16]
有人以为形式主义者和直觉主义者把数学家的工作看作发明，这和持柏拉图主义观点的人有所不同，其实这只是一种表面现象，虽然希尔伯特曾经说过：“最终的结果将会表明，数学是一门没有任何前提的科学。”[17]但他同样说过：“如果我没有搞错的话，的确存在全部数学真理的整个世界，我们只是凭自己的心灵才有机会感知这个世界的，就象存在物质实体的世界一样，两者都是神的创造，彼此一样不依赖于我们而存在。”[18]从中我们不无惊奇地发现这些表述与柏拉图何其相似。同样，布劳威尔虽然认为数学思维与经验世界无关，但却认为它受到直觉世界的限制，只不过这个世界与感觉的世界是对立的。从更一般的观点来看，以上三种学派都是柏拉图主义的变种，不管数学是本来就存在的实体还是构造出来的，总之他们都把数学看作某种与现实世界无关而纯粹与思维相关的东西。
直觉主义由于自身的狭隘性——它只承认构造性数学，并不为大多数人所接收，而逻辑主义和形式主义的观点，随着罗素悖论和哥德尔定理的出现，陆续宣告失败了。人们终于认识到，想一劳永逸地解决数学的绝对无矛盾性的问题是徒劳的，它跟制造永动机的念头一样，注定会遭到失败，数学的真理性问题不可能在其内部得到解决。
然而这些结果并没有让人们觉得有抛弃柏拉图主义的必要，反而在某种程度上加强了它。哥德（Gödel，
作为一个唯物主义者，我所能坚持的就是：数学来源于现实世界，也必将应用于这个世界，尽管这个起源和应用比起其他经验学科来有着很大的差异。我所说的来源，是受了叔本华的启发，他曾经讲过：“真理是完全赤裸的，表达真理的方式越简单，真理的影响便越深刻。”用一句俗话来形容，就是“水清石自现”，我觉得把问题简单化是到达本质的唯一途径；而我所指的应用，是改了徐光启的话：“金针度去从君用，岂止鸳鸯绣与人”。[33]

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数学的由来
古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但...

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数学的由来
古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484－－425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成12个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。

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