作业帮高一数学,选择题第4题,求详解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 09:18:04
高一数学,选择题第4题,求详解
高一数学,选择题第4题,求详解
高一数学,选择题第4题,求详解
a≠b,a²sinθ+acosθ-π/4=0,b²sinθ+bcosθ-π/4=0,则过两点(a,a²),(b,b²)的直线与单位圆的位置关系是（A）
解法一：
设a,b 为x²sinθ+xcosθ-π/4=0的两个根
则a+b=-cotθ ab=-[πcscθ]/4.
直线方程为y-a²=[(a²-b²)/(a-b)](x-a)=(a+b)x-a²-ab
y=(a+b)x-ab=-xctanθ+[πcscθ]/4.
设单位定圆的圆心为(m,n),半径为r=1.
则圆心到直线的距离为d,
d=|mcotθ+n-[πcscθ]/4|/√(cot²θ+1)=|mcosθ+nsinθ-π/4|
当m=0,n=0时,d=π/4<1=r.
∴过两点(a,a²),(b,b²)的直线与单位圆的位置关系是：
相交.
选A.如图
解法二：
由a²sinθ+acosθ-π/4=0,b²sinθ+bcosθ-π/4=0
得a²sinθ+acosθ= b²sinθ+bcosθ
即a²sinθ－b²sinθ= +bcosθ－acosθ
（a²－b²）sinθ=－（a－b）cosθ
（a+b）（a－b）sinθ=－（a－b）cosθ
（a+b）sinθ=－cosθ
当θ=π/4时
sinθ= cosθ得,a+ b=－1
因a与b为定值,a+ b=－1为定值
所以,－sinθ=－cosθ,sinθ=cosθ
所以,θ=π/4
a²sinθ+acosθ-π/4=0
所以,0.7071a²+0.7071a -0.7854=0
a =（－0.7071+1.6497）/（2×0.7071）=0.6665,
或a =（－0.7071－1.6497）/（2×0.7071）=－1.6665
取a =0.6665,则b=－1.6665
所以,a=0.6665,a²=0.4442
b=－1.6665,b²=2.7772
题设点A的坐标为A（a ,a²）=A（0.6665,0.4442）
题设点B的坐标为B（b ,b²）=B（－1.6665,2.7772）
由上可知,点A位于圆内第一象限；点B位于圆外第二象限
AB的直线方程是——
按直线方程的两点式,
（y－y1）/（y1－y2）=（x－x 1）/（x 1－x 2）
（y－0.4442）/（0.4442-2.7772）=（x－0.6665）/（0.6665+1.6665）
-2.333（x－0.6665）=2.333（y－0.4442）
所以,y=－x+1.1107
故当x=1.1107时,y=0
直线AB:y=－x+1.1107与单位圆的位置关系是相交.
选A.如上图.
解法三：
设a²=x1,a=y1,b²=x2,b=y2
则a²sinθ+acosθ-(π/4)=0,b²sinθ+bcosθ-(π/4)=0
可得x1sinθ+y1cosθ-(π/4)=0,x2sinθ+y2cosθ-(π/4)=0
点A(a,a²),B(b,b²)等价于(x1,y1),(x2,y2)
则点(x1,y1),(x2,y2)都在直线xsinθ+ycosθ-(π/4)=0上
即点A,B在直线xsinθ+ycosθ-(π/4)=0上
因为点(0,0)到直线xsinθ+ycosθ-(π/4)=0的距离是(π/4)/√(sin²θ+cos²θ)=(π/4)<1
所以连接A(a,a²),B(b,b²)两点的直线与圆心在原点的单位圆相交