作业帮[比赛]求证：含n各元素的集合,其子集个数为2^n.1.不要求很高的严谨性,但必须要有道理.2.证明要有创新性,能够体现独特的思维风格.3.在以上前提下尽量做到简洁.谁的证明最好（必须比我的证
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 05:11:22
![[比赛]求证：含n各元素的集合,其子集个数为2^n.1.不要求很高的严谨性,但必须要有道理.2.证明要有创新性,能够体现独特的思维风格.3.在以上前提下尽量做到简洁.谁的证明最好（必须比我的证](/uploads/image/z/3965903-71-3.jpg?t=%5B%E6%AF%94%E8%B5%9B%5D%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%90%ABn%E5%90%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%2C%E5%85%B6%E5%AD%90%E9%9B%86%E4%B8%AA%E6%95%B0%E4%B8%BA2%5En.1.%E4%B8%8D%E8%A6%81%E6%B1%82%E5%BE%88%E9%AB%98%E7%9A%84%E4%B8%A5%E8%B0%A8%E6%80%A7%2C%E4%BD%86%E5%BF%85%E9%A1%BB%E8%A6%81%E6%9C%89%E9%81%93%E7%90%86.2.%E8%AF%81%E6%98%8E%E8%A6%81%E6%9C%89%E5%88%9B%E6%96%B0%E6%80%A7%2C%E8%83%BD%E5%A4%9F%E4%BD%93%E7%8E%B0%E7%8B%AC%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%80%9D%E7%BB%B4%E9%A3%8E%E6%A0%BC.3.%E5%9C%A8%E4%BB%A5%E4%B8%8A%E5%89%8D%E6%8F%90%E4%B8%8B%E5%B0%BD%E9%87%8F%E5%81%9A%E5%88%B0%E7%AE%80%E6%B4%81.%E8%B0%81%E7%9A%84%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%9C%80%E5%A5%BD%EF%BC%88%E5%BF%85%E9%A1%BB%E6%AF%94%E6%88%91%E7%9A%84%E8%AF%81)
[比赛]求证：含n各元素的集合,其子集个数为2^n.1.不要求很高的严谨性,但必须要有道理.2.证明要有创新性,能够体现独特的思维风格.3.在以上前提下尽量做到简洁.谁的证明最好（必须比我的证
[比赛]求证：含n各元素的集合,其子集个数为2^n.
1.不要求很高的严谨性,但必须要有道理.
2.证明要有创新性,能够体现独特的思维风格.
3.在以上前提下尽量做到简洁.
谁的证明最好（必须比我的证明好）,谁就可以获得100分悬赏,特别优秀者,还有10至50分的追加.
[比赛]求证：含n各元素的集合,其子集个数为2^n.1.不要求很高的严谨性,但必须要有道理.2.证明要有创新性,能够体现独特的思维风格.3.在以上前提下尽量做到简洁.谁的证明最好（必须比我的证
用二项式定理
n个元素集合的子集有nC0+nC1+nC2+nC3+...+nCn
（1+1）^n=nC0+nC1+nC2+nC3+...+nCn=2^n
所以n个元素集合的子集共有2^n个
每个元素有存在或不存在两种情况
2*2*2*......*2=2^n
若无空集，则2^n-1
根据排列组合的知识。含零个元素的子集数；含一个元素的子集数……含n个元素的子集数。然后相加。高中课本里都有；学到排列组合时就会讲到。
若A中有三个元素则它的子集有：它本身，空集，和三个元素单独构成得三个，两两配对成的三个，一共有2^3＝8个子集。
其实，可以考虑：有几个元素，便用几来配对，把最后的结果加以总结，正好是2^n。
利用组合的方法证明
分n+1种情况讨论：
在n个元素中取0个元素组成的子集，即为空集
在n个元素中随意取1个元素组成的子集，
在n个元素中随意取2个元素组成的子集，
在n个元素中随意取3个元素组成的子集，
.....
在n个元素中随意取n个元素组成的子集
将以上n＋1个组合数相加，即得2^n
事实上，2^n是二项式（a+b)^...
全部展开
利用组合的方法证明
分n+1种情况讨论：
在n个元素中取0个元素组成的子集，即为空集
在n个元素中随意取1个元素组成的子集，
在n个元素中随意取2个元素组成的子集，
在n个元素中随意取3个元素组成的子集，
.....
在n个元素中随意取n个元素组成的子集
将以上n＋1个组合数相加，即得2^n
事实上，2^n是二项式（a+b)^n展开式的系数之和，并且令a＝b＝1
得证
收起
简单的计数问题
设集合A＝{a1,a2,a3,a4……an}
第一步：a1 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*=2^1
第二步：a2 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2=2^2
第三步：a3 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2*2=2^3
第四步：a4 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集...
全部展开
简单的计数问题
设集合A＝{a1,a2,a3,a4……an}
第一步：a1 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*=2^1
第二步：a2 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2=2^2
第三步：a3 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2*2=2^3
第四步：a4 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2*2*2=2^4
……
第n步： an 在子集内；不在子集内 ，2种可能 ，子集数：2*2*……＝2^n
搞定。
收起
每个元素有两种情况：存在＼不存在
共有N个元素则子集有2＾N
利用组合的方法证明
分n+1种情况讨论：
在n个元素中取0个元素组成的子集，即为空集 C0
在n个元素中随意取1个元素组成的子集，C1
在n个元素中随意取2个元素组成的子集，C2
...............
一直到Cn
C0+C1+C2+C3+...+Cn
这个式子就是一个特殊2项式（1+1）展开之后得到的所有项
全部展开
利用组合的方法证明
分n+1种情况讨论：
在n个元素中取0个元素组成的子集，即为空集 C0
在n个元素中随意取1个元素组成的子集，C1
在n个元素中随意取2个元素组成的子集，C2
...............
一直到Cn
C0+C1+C2+C3+...+Cn
这个式子就是一个特殊2项式（1+1）展开之后得到的所有项
所以=2^n
收起