求2008年辽宁省高中数学竞赛初赛试题及答案

求2008年辽宁省高中数学竞赛初赛试题及答案
求2008年辽宁省高中数学竞赛初赛试题及答案

求2008年辽宁省高中数学竞赛初赛试题及答案
1.设集合M={u|u=12m+8n+4l,m,n,l∈Z},N={u|u=20p+16q+12r,p,q,r∈Z },则M与N的关系为( )
A.M=N B. C. D.
2.设一个四面体的体积为V1,以它的各棱的中点为顶点构成一个凸多面体,其体积为V2,则为( )
A. B. C. D.不确定
3.在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,满足a1＜a2,a2＞a3,a3＜a4,a4＞a5的排列的个数为( )
A.24 B.16 C.10 D.8
4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )
A.有两个相等实根 B.有两个同号互异实根
C.有两个异号实根 D.无实根
5.若为奇函数且在[0,]为减函数,则θ的一个值为( )
A.π B.π C.- D.-
6.已知x,y满足若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则a的取值范围是( )
A.0≤a≤1 B.-1≤a≤0 C.-1≤a≤1 D.a≤-1或a≥1
二、填空题(本题满分30分,每小题5分)
7.设圆Ck={(x,y)|(x-mk)2+(y-mk)2≤2k2},k∈N+,其中mk定义如下：m1=0,mk+1=mk+2k+1(k≥1),则的面积为____.
8.已知复数集合D,复数z∈D当且仅当存在模为1的复数z1使得.则D中实部和虚部都为整数的复数的个数是____.
9.一个正方体的任意4个不在同一平面上的顶点A、B、C、D组成的二面角A-BC-D的余弦值中,小于的值的个数是____.
10.设A={1,2,3,…,n}(n＞1,n∈N),映射f：A→A.则满足f(1)≤f(2)≤…≤f(n),且象恰好取k(1＜k≤n)个不同值的f的个数为____.
11.设F为抛物线y2=2x-1的焦点,Q(a,2)为直线y=2上一点,若抛物线上有且仅有一点P满足|PF|=|PQ|,则a的值为____.
12.设x, y＞0,S(x,y)=min{x,y,},则S(x,y)的最大值为____.
三、解答题(本题共4道小题,满分90分)
13.(本小题满分20分)设0＜α,β,γ＜满足
cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1.
求证：.
14.(本小题满分20分)设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,过(-,0)的直线在第一象限交抛物线于C、D两点,若在x轴上存在点E,使CE⊥DE,求直线CD的斜率k的取值范围.
15.(本小题满分25分)AN是△ABC的角平分线,AN的延长线交△ABC的外接圆于D；M是AN上一点,直线BM和CM分别交△ABC外接圆于E和F；DF交AB于P,DE交AC于Q.求证：P、M、Q三点共线.

16.(本小题满分25分)设集合
M={n|n!可以表示为(n-3)个连续正整数之积,且n＞4}.证明M是有限集,并求出M的所有元素.
参考答案及评分标准

一、选择题(本题满分30分,每小题5分)
1.A 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C
二、填空题(本题满分30分,每小题5分)
7. 8.49 9.4 10. 11.0或1 12.
三、解答题(本题共4道小题,满分90分)
13.(本小题满分20分)
由已知cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1,得
(cosγ+cosαcosβ)2=(1-cos2α)(1-cos2β)=sin2αsin2β.
由α,β,γ∈(0,),得cosγ+cosαcosβ=sinαsinβ.
cosγ=-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=-cos(α+β)=cos(π-α-β). ……(5分)
而π-α-β,γ∈(0,),所以α+β+γ=π.
所以α,β,γ是某一个锐角三角形的三内角.
令x=sinα；y=sinβ；z=sinγ,
x,y,z可构成某一个三角形的三边长. ……(10分)
. ……(15分)
由|x-y|＜z,|y-z|＜x,|z-x|＜y,
于是≤. ……(20分)
14.(本小题满分20分)
过的直线方程为,代入抛物线方程,得
. ……(5分)
设直线与抛物线的交点为C(x1,y1),D(x2,y2),则有
,；
,
. ……(10分)
设点E的坐标为(x0,0),由CE⊥DE,
(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=0,即.
代入并整理得
. ……(15分)
由于点E存在,故,
解得.因为C,D在第一象限,故k＞0,
所以,. ……(20分)
15.(本小题满分25分)
证明：连接PM、QM、BD.
∵∠PAD=∠MAC,∠ADP=∠ACM,
∴△ADP∽△ACM,AP：AM=PD：MC. ……(5分)
∵∠BPD=∠PAD+∠ADP=∠MAC+∠ACM=∠NMC,
又∠FDB=∠FCN,
∴△BDP∽△NCM,
PB：MN=PD：MC. ……(15分)
∴AP：AM=PB：MN.
∴PM‖BC. ……(20分)
同理可证QM‖BC,
故P、M、Q三点共线. ……(25分)
16.(本小题满分25分)
设n∈M,则n!=1×2×…×n=m(m+1)…(m+n-4),
若m≤4时,则m(m+1)…(m+n-4)≤4×5×…×n＜n!
故必有m≥5. ……(5分)
因为m(m+1)…(m+n-5)≥5×6…×n,
故m+n-4≤4!=24,n≤28-m≤23,
所以M是有限集. ……(10分)
当m=5时,n=23,23!=5×6×…×24.
当m≥6时,由于5!=120不能表为2个连续正整数之积,
故m(m+1)…(m+n-4)至少有3个因子,
因为m(m+1)…(m+n-6)≥6×7×…×n,
所以(m+n-5)(m+n-4)≤5!=120＜11×12.
由此可得,m+n≤15. ……(15分)
当m≥n时,得n≤7,当m＜n时,得m≤7；
所以,5≤m≤7或n≤7. ……(20分)
经验证,23!=5×6×…×24,6!=8×9×10,7!=7×8×9×10,
所以,M={6,7,23}. ……(25分)