有12个外观完全一样的球,其中有一个与其他质量不等（另11个球等质量）给你一个天平,如何三次把它找出来

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 04:42:15

有12个外观完全一样的球,其中有一个与其他质量不等（另11个球等质量）给你一个天平,如何三次把它找出来
有12个外观完全一样的球,其中有一个与其他质量不等（另11个球等质量）给你一个天平,如何三次把它找出来

有12个外观完全一样的球,其中有一个与其他质量不等（另11个球等质量）给你一个天平,如何三次把它找出来
球编号为a b c d,e f g h,i j k l,取出abcd,efgh
　　第一种情形：
　　如果重量相等,则说明所求在 ijkl 中,
　　称量 i j ,
　　如果相等,比较 a k ,如果a=k,则所求为 l ；如果ak不等,则所求为 k .
　　如果不等,比较 a i ,如果a=i,则所求为 j ；如果不等,则所求为 i .
　　第二种：
　　如果 abcd 轻,
　　在efgh中取出 fgh ,替掉abcd中 bcd,从ijkl中取出 ijk 个放入 e 中填补空位：
　　如果afgh轻：则说明所求在a或e,拿 e 和除 a 以外的任意一球比较,如果重量相等,则所求的球是 a ；如果不等,则所求的球是 e .
　　如果afgh重：说明所求在 fgh 中,且所求较重；比较 f g ,等重则所求为 h ；不等则重的为所求.
　　如果一样重：说明所求在 bcd 中,且所求较轻；以下同afgh重的情形.
　　第三种：
　　如果 abcd 重,
　　在efgh中取出 fgh ,替掉abcd中 bcd,从ijkl中取出 ijk 个放入 e 中填补空位：
　　如果 afgh 重：则说明所求在a或e,拿 e 和除 a 以外的任意一球比较,如果重量相等,则所求的球是 a ；如果不等,则所求的球是 e .
　　如果afgh轻：说明所求在 fgh 中,且所求较轻；比较 f g ,等重则所求为 h ；不等则重的为所求.
　　如果一样重：说明所求在 bcd 中,且所求较重；以下同afgh轻的情形.
　　此题答案就是这样.下面与大家进而探讨称任意球数的通用性.
　　总结：
　　天平称重,有两个托盘比较轻重,加上托盘外面,也就是每次称重有3个结果,就是ln3/ln2比特信息.n个球要知道其中一个不同的球,如果知道那个不同重量的球是轻还是重,找出来的话那就是n个结果中的一种,就是有ln（n）/ln2比特信息,如果不知道轻重,找出来就是2n（n个球中的一个,轻或者重,所以是2n）个结果中的一种,那就是ln（2n）/ln2比特信息.
　　假设我们要称k次,根据信息理论,那显然两种情况就分别有：
　　（1）k*ln3/ln2>=ln（n）/ln2 （k>=1）解得k>=ln（n）/ln3
　　（2）k*ln3/ln2>=ln（2n）/ln2 （k>1）解得k>=ln（2n）/ln3
　　这是得到下限,可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求.比如称3次知道轻重可以从3^3=27个球中找出不同的球出来,如果不知道轻重就只能从（3^3-1）/2=13个球中找出不同的球出来.