作业帮若X是整数,求证：（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16是一个完全平方数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 13:42:53
若X是整数,求证：（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16是一个完全平方数
若X是整数,求证：（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16是一个完全平方数
若X是整数,求证：（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16是一个完全平方数
（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16
=(x+5-3)(x+5-1)(x+5+1)(x+5+3) + 16
= {(x+5)^2-3^2}{(x+5)^2-1^2} + 16
= (x+5)^2-10(x+5)+9+16
= (x+5)^2-10(x+5)+25
= (x+5-5)^2
= x^2,得证
：（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16
=（X+5-3）（X+5-1）（X+5+1）（X+5+3）+16
=[(X+5)^2-9][(X+5)^2-1] +16
=[(x+5)^4-10(x+5)^2+25
=[(x+5)^2-5]^2
把原式变一下就是(X+2)(X+8)(X+4)(X+6)+16
然后（(X+2)(X+8)）×（(X+4)(X+6)）+16化简就是
（x²+10x+16）（x²+10x+24）+16
把x²+10x看做一个整体设为a
所以(a+16)(a+24)+16=a²+40a+384+16=a²+40a+400
=(...
全部展开
把原式变一下就是(X+2)(X+8)(X+4)(X+6)+16
然后（(X+2)(X+8)）×（(X+4)(X+6)）+16化简就是
（x²+10x+16）（x²+10x+24）+16
把x²+10x看做一个整体设为a
所以(a+16)(a+24)+16=a²+40a+384+16=a²+40a+400
=(a+20)²
所以（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16是一个完全平方数
收起
原式=[(x+2)(x+8)][(x+4)(x+6)]+16
=[x²+10x+16][x²+10x+24]+16
=[(x²+10x)²+40(x²+10x)+16*24]+16
=(x²+10x)²+40(x²+10x)+16*25
=(x²+10x)²+40(x²+10x)+20²
=(x²+10x+20)² 为完全平方数。