带有绝对值不等式问题 x+丨x-2c丨>1,在x∈R恒成立,求c的取值范围

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 02:47:54
带有绝对值不等式问题 x+丨x-2c丨>1,在x∈R恒成立,求c的取值范围

带有绝对值不等式问题 x+丨x-2c丨>1,在x∈R恒成立,求c的取值范围
带有绝对值不等式问题 x+丨x-2c丨>1,在x∈R恒成立,求c的取值范围

带有绝对值不等式问题 x+丨x-2c丨>1,在x∈R恒成立,求c的取值范围
设f(x)＝x+丨x-2c丨 ,可以分类讨论和数形结合,画出f(x)的图像
当 x≥2c时,f(x)＝x＋x－2c＝2x－2c
当x＜2c时,f(x)＝x＋2c－x＝2c
数形结合,画f(x)的图象,可以发现,当x＜2c时,它是一条水平线,当x≥2c时,它是一条上升的直线,因此f(x)的最小值为2c
x+丨x-2c丨>1 恒成立,等价于 f(x)＞1 恒成立,进而等价于 f(x)的最小值＞1恒成立
也就是 2c＞1恒成立,那么c＞1/2

|x|＋|x－2c|>1恒成立，则只要|x|＋|x－2c|的最小值>1就可以了。
而|x|＋|x－2c|的最小值是|2c|，得：
|2c|>1
则：c>1/2或x<－1/2为什么最小值是2丨c丨|x|：表示数轴上的点x到原点的距离； |x－2x|：表示数轴上的点x到2c的距离，则： |x|＋|x－2c|的最小值是|2c|...

全部展开

|x|＋|x－2c|>1恒成立，则只要|x|＋|x－2c|的最小值>1就可以了。
而|x|＋|x－2c|的最小值是|2c|，得：
|2c|>1
则：c>1/2或x<－1/2

收起

|x|：表示数轴上的点x到原点的距离；
|x－2x|：表示数轴上的点x到2c的距离，
只有当x在o与2c中间时距离和最小，含端点，
即：|x|＋|x－2c|的最小值是|2c|
|x|＋|x－2c|>=l2cl>1
c>1/2或c<－1/2

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