作业帮椭圆关于两坐标轴对称,且和直线Y=5-X,X-4Y=10相切,求椭圆方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 22:50:33
椭圆关于两坐标轴对称,且和直线Y=5-X,X-4Y=10相切,求椭圆方程
椭圆关于两坐标轴对称,且和直线Y=5-X,X-4Y=10相切,求椭圆方程
椭圆关于两坐标轴对称,且和直线Y=5-X,X-4Y=10相切,求椭圆方程
设椭圆参数方程为 x=a·cosθ;y=b·sinθ;
则椭圆的切线斜率为(求导)
k=dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)
=(b·cosθ)/(-a·sinθ)
=(-b/a)·cotθ
1.与直线 Y=5-X 相切,则可知:
(-b/a)·cotθ1=-1;
cotθ1=a/b;
则cosθ1=a/√(a^2+b^2);
sinθ1=b/√(a^2+b^2);
则与直线 Y=5-X 的切点为(a^2/√(a^2+b^2);b^2/√(a^2+b^2) )
而切线为 Y=5-X ,则有 b^2/√(a^2+b^2)=5-a^2/√(a^2+b^2)
→(a^2+b^2)/√(a^2+b^2)=5;
即√(a^2+b^2)=5;
a^2+b^2=25.①
2.与直线 X-4Y=10 (斜率为1/4) 相切,则可知:
(-b/a)·cotθ2=1/4;
cotθ2=-a/(4b);
则cosθ2=-a/√(a^2+16b^2);
sinθ2=4b/√(a^2+16b^2);
则与直线 X-4Y=10 的切点为(a^2/√(a^2+16b^2); -4b^2/√(a^2+16b^2) )
而切线为 X-4Y=10 ,则有 a^2/√(a^2+16b^2) + 16b^2/√(a^2+16b^2)=10;
→ (a^2+16b^2)/√(a^2+16b^2)=10;
即 √(a^2+16b^2)=10;
a^2+16b^2=100.②
②-①得:
15b^2=75;
则b^2=5;
则由①得 a^2=25-b^2=20;
则椭圆参数方程为
x=√5·cosθ;y=2√5·sinθ;
直角坐标方程为:
x^2 /5 + y^2 /20 =1.