作业帮求解线性代数证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 15:17:48
求解线性代数证明题
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求解线性代数证明题
证明:
()必要性
这个好像有问题吔
充分性为显然，（lry31383 有证明细节）。下面证明必要性。
设对任何k1，……，km-1. β1，……。βm-1总是线性无关。证明α1，……，αm也线性无关。
用反证法：假如α1，……，αm线性相关。存在不全为0的ai 1≤i≤m.使∑aiαi＝0
设i从1开始。慢慢加大，第一个不是0的ai是aj。
①j≠m。否则amαm＝0,am≠0.得到αm＝0。与...
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充分性为显然，（lry31383 有证明细节）。下面证明必要性。
设对任何k1，……，km-1. β1，……。βm-1总是线性无关。证明α1，……，αm也线性无关。
用反证法：假如α1，……，αm线性相关。存在不全为0的ai 1≤i≤m.使∑aiαi＝0
设i从1开始。慢慢加大，第一个不是0的ai是aj。
①j≠m。否则amαm＝0,am≠0.得到αm＝0。与题设αm≠0矛盾。
②ajαj+……+amαm＝0.此式可以改为：
aj（αj+（am/aj）αm）+a（j+1）α（j+1）+……+a（m-1）α（m-1）＝0.
取βi＝αi （1≤i≤m-1,但是i≠j） βj＝αj+（am/aj）αm.从题设，这组βi也线性无关。
∴a1＝a2＝……＝aj＝……＝a（m-1）＝0,得到am≠0.回到①，不可。
∴“α1，……，αm线性相关”是错误的，即：α1，……，αm线性无关。
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