若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 12:43:30
若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.

若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.
若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.

若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______.
∵x1=1和x2=-1是方程f(x)=0 的两个解【0=f(x)=(1+x)(1-x)(x²+ax+b)】
x=-2 是图像的对称轴
∴x3=-3和x4=-5也是方程f(x)=0 的两个解 【x3-(-2)=-2-x2;x4-(-2)=-2-x1】
∴a/1=-(x3+x4) => a=8
b/1=x3*x4 => b=15 【韦达定理】
∴ f(x)=-x^4-8x³-14x²+8x+15 => f'(x)=-4x³-24x²-28x+8
由f'(x)=0 => x1'=-2-√5 ;x2'=-2 ;x3'=-2+√5
由一次导函数的正负区间推出函数的单调区间,可知
fmax(x)=f(x1')=f(x3')=-60+99√5
∴f(x)的最大值是 -60+99√5 .