如何证明任意一个方阵可由三角矩阵相乘的形式得到?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 21:50:13

如何证明任意一个方阵可由三角矩阵相乘的形式得到?
如何证明任意一个方阵可由三角矩阵相乘的形式得到?

如何证明任意一个方阵可由三角矩阵相乘的形式得到?
此题偏重理解.
首先,任何一个方阵,都可以通过“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作,转化为行最简阶梯型.这个很好理解对吧.我们解线性方程组的时候都是这么做的.由于现在原矩阵是个方阵,所以你的行最简阶梯型就是一个上三角阵.
我们先心里有数：原矩阵A经过了若干次“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作,变成了上三角阵B

其次,考察“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作,这个一个初等行变换,就是左乘了一个初等矩阵.比如把第一行的2倍加到第二行上去,就是原矩阵左乘了这样的一个变换矩阵
1 0 0 ... 0
2 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
这个变换矩阵还是一个三角阵!可能是上三角也可能是下三角.
比如“第二行的2倍加到第一行上去”,变换矩阵就是
1 2 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
那就是一个上三角阵了.

但是总而言之,变换矩阵也是一个三角阵.

所以：“原矩阵A经过一系列这样的变换变成了上三角阵B”,就是“原矩阵A左乘了一系列三角阵变成了B”,
P1* P2 * ... * PN *A = B
其中Pi 都是三角阵,而且是可逆的（因为初等变换矩阵都是满秩,可逆的）
所以等式两边乘以了那些Pi的逆,就是：
A= (PN)^(-1) * ... * (P2)^(-1) * (P1)^(-1) * B
注意到三角阵的逆还是三角阵,所以这样就把A表示成了三角阵的乘积.

如何证明任意一个方阵可由三角矩阵相乘的形式得到? 证明任何一个方阵都可以由两个三角矩阵相乘的形式表示出来如何证明：与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵? 证明：任意矩阵都能由三角矩阵相乘的形式表示出来RT 如何证明：与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵?请给出详细的证明过程. 证明任何一个方阵都可以由两个三角矩阵相乘的形式表示出来麻烦去我的提问里面解答,有奖赏, 线性代数刘老师快来!如何证明：与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵?请给出详细的证明过程设E(i,j)是对换i,j两行的初等矩阵.由E(i,j)A=AE(i,j)可得aii=ajj这一步我不是很明白啊证明:任意n阶方阵可表示为一个数量矩阵(数与单位矩阵的数乘)与迹为零的矩阵的和. 证明下三角方阵的逆矩阵也是下三角方阵证明可逆上三角方阵的逆矩阵仍然是上三角方阵证明任意方阵都可以表为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积. 证明任意方阵都可以表为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积证明任意n阶方阵都能写完为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和. (ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC). 为什么方阵的阶梯形一定是上三角矩阵任意矩阵如何计算模方阵的模如何计算?那么任意矩阵呢?比如2*3矩阵? 设A为n阶方阵,证明存在一个酉矩阵,使得U'AU为上三角矩阵如何证明任意方阵可拆成唯一一组对称与反对称矩阵和?rt,