求函数y=4^x-2^(x+1 )+6在区间[-2.3]上的值域

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 16:54:49
求函数y=4^x-2^(x+1 )+6在区间[-2.3]上的值域

求函数y=4^x-2^(x+1 )+6在区间[-2.3]上的值域
求函数y=4^x-2^(x+1 )+6在区间[-2.3]上的值域

求函数y=4^x-2^(x+1 )+6在区间[-2.3]上的值域
y=4^x-2^(x+1 )+6
=(2^x)²-2*2^x+6
=(2^x-1)²+5
当x=0时,y有最小值为5
当x=3时,y有最大值为(2³-1)²+5=54
所以函数y=4^x-2^(x+1 )+6在区间[-2.3]上的值域为[5,54]

y=4^x-2^(x+1)+6
=2^(2x)-2*2^x+6
记2^x=u,y=u²-2u+6=(u-1)²+5
当u=1即x=0时,函数取到最小值,5
x=-2时,u=1/4,y=(1/16)-1/2+6=89/16
x=3时,u=8,y=64-16+6=54
最小值为:y(0)=5
最大值为:y(3)=54

设2^x为n,则原式可写为y=n²-2n+6=(n-1)²+5,又因n=2^x,x在区间[-2.3]上,所以n的取值区间是[1/4,8],显然,当n取1时函数有最小值5,n取8时,函数有最大值54