作业帮大学数学,采纳即追加：设x^2+px+q和x^2+rx+s都是整系数多项式,且它们有一个公根α不是整数.试证p=r,q=s
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 04:11:25
大学数学,采纳即追加：设x^2+px+q和x^2+rx+s都是整系数多项式,且它们有一个公根α不是整数.试证p=r,q=s
大学数学,采纳即追加：设x^2+px+q和x^2+rx+s都是整系数多项式,且它们有一个公根α不是整数.试证p=r,q=s
大学数学,采纳即追加：设x^2+px+q和x^2+rx+s都是整系数多项式,且它们有一个公根α不是整数.试证p=r,q=s
证明：首先假如这两个整系数多项式的另外一个根也相等,显然这两个证系数多项式恒等,显然有p=r,q=s
否则,不防设x^2+px+q的根为α,β,x^2+rx+s的根伟α,γ(β不等于γ)
显然,α+β=-p,----(1)
αβ=q ----(2)
α+γ=-r ----(3)
αγ=s ----(4)
β-γ=r-p 为整数
α(β-γ)=q-s 为整数
又β不等于γ=>α=(q-s)/(r-p) 为有理数
显然(1)(3)可以推出β,γ也是有理数,显然对首项系数为1的二次正系数多项式假如他的根为有理数则它的必定是整数（自己证明的话也不难,假设α=m/n(,m,n为整数,且m,n)=1,n>=2,β=-p-m/n =>q=αβ=m/n*(-p-m/n)不是整数,矛盾),故与α不是整数矛盾,读反设不成立,即原命题成立
证毕!
代入公共根，两式相减（p-r)α+(q-s)=0
因为pqrs都是整数，α不是整数，
假设p不等于r，q不等于s，那么（p-r)α+(q-s)就是一个无理数，不等于0，与原式，矛盾，因此p=r,q=s
一、P（多项式时间）问题对NP（nondeterministic polynomial time，非确定多项式时间）问题 在一个周 哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。 2006年8月