已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 08:38:48
已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数.

已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数.
已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数.

已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数.
反证法.设a+b+c+d为质数
∵a²+b²=c²+d²
不妨设a≥c,d≥b
∴(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)
分类讨论:
1.若a=c,则b=d,
那么a+b+c+d=2(a+b)是合数
2.若a≠c,则b≠d.
此时,若a+c不整除d-b,则
存在素数p,使得p整除a+c
而p不整除d-b
那么,p整除b+d,故a+b+c+d
为合数,矛盾
故a+c整除d-b
同理,d+b整除a-c
那么,a+c≤d-b

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