已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 05:34:52

已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数
已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数

已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数
反证法.设a+b+c+d为质数
∵a²+b²=c²+d²
不妨设a≥c,d≥b
∴(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)
分类讨论：
1.若a=c,则b=d,
那么a+b+c+d=2(a+b)是合数
2.若a≠c,则b≠d.
此时,若a+c不整除d-b,则
存在素数p,使得p整除a+c
而p不整除d-b
那么,p整除b+d,故a+b+c+d
为合数,矛盾
故a+c整除d-b
同理,d+b整除a-c
那么,a+c≤d-b矛盾.
故a+b+c+d为合数

由a2+b2=c2+d2得
a2-c2=d2-b2
(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)
(a+c)=(d+b)(d-b)/(a-c)
a+b+c+d=(d+b)(d-b)/(a-c)+(d+b)
=(b+d)[(d-b)/(a-c)+1]
=(b+d)[(d-b+a-c)/(a-c)]
所以a+b+c+do 为合数

已知a,b,c,d都是正整数且a/b 已知a、b、c、d都是正整数,且x 已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数已知a,b,c,d都是4个正整数,且a²+b²=c²+d²,证明a+b+c+d为合数. 已知三角形的三边的长a,b,c都是正整数且a小于等于b小于c,如果b=7,那么这样的三角形共有（）个A.21 B.28 C.49 D.14 已知a,b,c,d都是正数,且a/b 设a、b、c、d都是正整数,且a^5=b^4,c^3=d^2,c-a=19,求d-b. 已知A,B,C,D都是整数,且A 若a,b,c,d是正整数,且满足a加b等于c,b加c等于d已知a、b、c、d都是正整数,且a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+c+d的最大值过程, 已知a/2=b/3=c/4,且a、b、c都是正整数,求a+3b-2c/2a+b的值已知△ABC中,三边长a,b,c都是正整数,且满足a大于b大于c,a=8,满足条件的三角形共有多少个? 已知 a,b,c,d,都是正整数,并且a^5=b^4,c^3=d^2,c-a=9,则a-b的值为? 已知x,y,a,b都是正整数,且a 线段A,B,C的长都是正整数,且A 已知a,b,c,d都是素数(可以相同),并且abcd是35个连续正整数之和,则a+b+c+d的最小值为多少已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d 已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d 已知a b c d均为正整数,且a^5=b^4,c^3=d^2,a-c=65,求b-d的值