求函数y=x2+2x+4/x在区间[1/4,4]的值域

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 07:45:01

求函数y=x2+2x+4/x在区间[1/4,4]的值域
求函数y=x2+2x+4/x在区间[1/4,4]的值域

求函数y=x2+2x+4/x在区间[1/4,4]的值域
y=(x²+2x+4)/x
=x +4/x +2
由均值不等式得x=4/x时,即x=2时,y有最小值6
令x=1/4,得y=1/4 +16+2=73/4
令x=4,得y=4+1+2=7
即当x=1/4时,y有最大值ymax=73/4
函数的值域为[6,73/4].

y=x2+2x+4/x
y'=2x+2-4/x²=2(x³+x²-2)/x²
=2(x-1)(x²+2x+2)/x²
=2(x-1)[(x+1)²+1]/x²
∵x∈[1/4,4]
∴x∈[1/4,1),f'(x)<0,f(x)递减
x∈(1,4],f'(x...

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y=x2+2x+4/x
y'=2x+2-4/x²=2(x³+x²-2)/x²
=2(x-1)(x²+2x+2)/x²
=2(x-1)[(x+1)²+1]/x²
∵x∈[1/4,4]
∴x∈[1/4,1),f'(x)<0,f(x)递减
x∈(1,4],f'(x)>0,f(x)递增
∴f(x)min=f(1)=7
又f(4)=16+8+1=25
f(1/4)=1/16+1/2+16 ∴f(x)max=f(4)=25
∴f(x)值域为[7,25]
坑爹的输入http://58.130.5.100//

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