作业帮如图所示,在四面体ABCD中,若棱CD=√2,其余各棱长都为1,试问:在这个四面体中,是否存在两个面互相垂直?证明你的结论.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 12:01:13
如图所示,在四面体ABCD中,若棱CD=√2,其余各棱长都为1,试问:在这个四面体中,是否存在两个面互相垂直?证明你的结论.
如图所示,在四面体ABCD中,若棱CD=√2,其余各棱长都为1,试问:在这个四面体中,是否存在两个面互相垂直?证明你的结论.
如图所示,在四面体ABCD中,若棱CD=√2,其余各棱长都为1,试问:在这个四面体中,是否存在两个面互相垂直?证明你的结论.
本题证明 面面垂直 较好的方法是：
如果两个平面所成的二面角的平面角是90°,则这两个平面相互垂直.
对于 二面角的平面角 的理 两平面相交于一条交线,过交线上任一点分别在两平面内作垂直于交线的直线,则这两直线的夹角 即为二面角的平面角 .
在这个四面体D---ABC 中,存在两个面互相垂直,面ADC ⊥ 面BDC.证明如下：
由题意,在四面体D---ABC 中,棱CD=√2,
其余各棱长 AD = AC = AB = BC = BD = 1
∴ △ACD 是等腰直角三角形,且AD = AC = 1,CD = √2,∠DAC = 90°；
△BCD是等腰直角三角形,且BD = BC = 1,CD = √2,∠DBC = 90°；
△ABC 和 △ABD 均 是等边三角形,且边长均为1.
取DC的中点E,连AE、BE.
故在等腰直角△ACD中,AE是斜边CD上的高,AE = （1/2）× CD = √2 / 2.
在等腰直角△BCD中,BE是斜边CD上的高,BE = （1/2）× CD = √2 / 2.（等腰三角形 底边上的高 平分底边；直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半）
在△AEB 中,AE = √2 / 2, BE = √2 / 2, AB = 1
∵（√2 / 2）的平方 + （√2 / 2）的平方 = 1的平方
∴ AE的平方 + BE的平方 = AB的平方
∴ △AEB 是Rt△,且∠AEB = 90° .
∵ 平面ADC ∩ 平面BDC = DC,点E在DC上,
又 ∵ EA ⊥ DC,且AE在平面ADC 内,
EB ⊥ DC,且BE在平面BDC 内,
即：过平面ADC 和 平面BDC 的交线DC上一点E 分别在平面ADC 和 平 面BDC内作交线DC的垂线 EA 和 EB,
∴ ∠AEB 就是平面ADC 与 平面BDC 所成的二面角的平面角.
而∠AEB = 90°,
∴平面ADC 与 平面BDC 所成的角为 90°
∴ 平面ADC ⊥ 平面BDC.
注：① 对于本题,您可以动手做两个等腰直角三角形纸板,在实际操作的基础上建立脑像；
② 注意正确作出 二面角的平面角（过两平面的交线上一点分别在两平面内做垂直于交线的直线）；
③ 掌握 证明面面垂直的方法 （ 本题用到的是： 如果两个平面所成的二面角的平面角是90°,则这两个平面相互垂直）.
祝您学习顺利!