A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC =m向量OA+n向量OB,则m+n的取值范围是( ).求详解,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/18 02:03:08
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A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC =m向量OA+n向量OB,则m+n的取值范围是( ).求详解,
A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC =m向量OA+n向量OB,
则m+n的取值范围是( ).
求详解,
A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC =m向量OA+n向量OB,则m+n的取值范围是( ).求详解,
由图知:OD=kOC,k
延长AO交⊙O于E,过C作CF∥EO交OB于F、作CG∥BO交OE于G。令⊙O的半径为r。∵CF∥GO、CG∥FO,∴OFCG是平行四边形,∴向量OC=向量OG+向量OF。······①∵向量OC=m向量OA+n向量OB=m(-向量OE)+n向量OB。······②又O、G、E共线;O、F、B共线,∴由①、②,得:OG=mOE=mr、OF=nOB=nr。∵OFCG是平行四边形,∴FC=OG=mr,...
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延长AO交⊙O于E,过C作CF∥EO交OB于F、作CG∥BO交OE于G。令⊙O的半径为r。∵CF∥GO、CG∥FO,∴OFCG是平行四边形,∴向量OC=向量OG+向量OF。······①∵向量OC=m向量OA+n向量OB=m(-向量OE)+n向量OB。······②又O、G、E共线;O、F、B共线,∴由①、②,得:OG=mOE=mr、OF=nOB=nr。∵OFCG是平行四边形,∴FC=OG=mr,显然有:OC=r。设∠OFC=θ,则由余弦定理,有:OC^2=FC^2+OF^2-2FC×OFcosθ,∴r^2=(mr)^2+(nr)^2-2(mr)(nr)cosθ,∴1=m^2+n^2-2mncosθ,∴(m+n)^2-2mn-2mncosθ=1,∴(m+n)^2-2(1+cosθ)mn=1。······③很明显,m、n都是正数,∴m+n≧2√(mn),∴(m+n)^2≧4mn,∴-[(1+cosθ)/2](m+n)^2≦-2(1+cosθ)mn。······④③+④,得:(m+n)^2-[(1+cosθ)/2](m+n)^2≦1,∴(1-cosθ)(m+n)^2≦2,∴(m+n)^2≦2/(1-cosθ)。······⑤∵0°<θ<180°,∴-1<cosθ<1,∴-1<-cosθ<1,∴0<1-cosθ<2,∴1/(1-cosθ)>1/2,∴2/(1-cosθ)>1。······⑥由⑤、⑥,得:(m+n)^2≦1,∴0<m+n≦1。∴(m+n)的取值范围是(0,1]。
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