作业帮求积分 ∫ (sinx+cosx)^3dx 求∫ (sinx+cosx)^3dx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 15:50:39
求积分 ∫ (sinx+cosx)^3dx 求∫ (sinx+cosx)^3dx
求积分 ∫ (sinx+cosx)^3dx
求∫ (sinx+cosx)^3dx
求积分 ∫ (sinx+cosx)^3dx 求∫ (sinx+cosx)^3dx
原式=∫(sin³x+3sin²xcosx+3sinxcos²x+cos³x)dx
=∫(3sin²xcosx+cos³x)dx+∫(sin³x+3sinxcos²x)dx
=∫(2sin²x+1)d(sinx)-∫(2cos²x+1)d(cosx)
=(2/3)sin³x+sinx-(2/3)cos³x-cosx+C (C是积分常数).
给你一步步写出来。
先化简(sinx+cosx)^3
(sin x+cos x)^3
= (sin x + cos x) ^ 2 * (sin x + cos x)
= ((sin x)^2 + (cos x)^2 + 2sin xcos x) (sin x + cos x)
= (1+ 2sin xcos x)(sin x + cos x)
= ...
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给你一步步写出来。
先化简(sinx+cosx)^3
(sin x+cos x)^3
= (sin x + cos x) ^ 2 * (sin x + cos x)
= ((sin x)^2 + (cos x)^2 + 2sin xcos x) (sin x + cos x)
= (1+ 2sin xcos x)(sin x + cos x)
= sin x + cos x + 2(cos x)(sin x)^2 + 2(sin x)(cos x)^2
因此
原式=∫ (sin x + cos x + 2(cos x)(sin x)^2 + 2(sin x)(cos x)^2) dx
=∫ sin x dx + ∫ cos x dx + ∫2(cos x)(sin x)^2 dx + ∫2(sin x)(cos x)^2) dx
=∫ sin x dx + ∫ cos x dx + ∫ 2(sin x)^2 d(sin x) + ∫ 2(cos x)^2 (-d(cos x))
=∫ sin x dx + ∫ cos x dx + 2 ∫ (sin x)^2 d(sin x) - 2 ∫ (cos x)^2 d(cos x)
（相当于∫ sin x dx + ∫ cos x dx + 2 ∫ t^2 dt - 2 ∫ u^2 du）
= - cos x + sin x + 2/3 (sin x)^3 - 2/3 (cos x)^3 + C
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