一奥数题,谁救救我是否存在正整数a,b,使得等式a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2成立?如果存在,求出a,b.如果不存在,说明理由

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 15:56:52

一奥数题,谁救救我是否存在正整数a,b,使得等式a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2成立?如果存在,求出a,b.如果不存在,说明理由
一奥数题,谁救救我
是否存在正整数a,b,使得等式a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2成立?
如果存在,求出a,b.如果不存在,说明理由

一奥数题,谁救救我是否存在正整数a,b,使得等式a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2成立?如果存在,求出a,b.如果不存在,说明理由
a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2
a^3-b^3+(a+b)^2+b-a=2
(a-b)*(a^2+ab+b^2)+(a+b)^2-(a-b)=2
(a-b)*(a^2+ab+b^2-1)+(a+b)^2=2
(a-b)*[(a-b)^2+3ab-1]+(a+b)^2=2
可知要上式两边相等,必须a≠b,a

a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2
a^3-b^3+(a+b)^2+b-a=2
(a-b)*(a^2+ab+b^2)+(a+b)^2-(a-b)=2
(a-b)*(a^2+ab+b^2-1)+(a+b)^2=2
(a-b)*[(a-b)^2+3ab-1]+(a+b)^2=2
由于(a+b)^2>=2^2=4,(a-b)^2+3ab-1>=0...

全部展开

a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2
a^3-b^3+(a+b)^2+b-a=2
(a-b)*(a^2+ab+b^2)+(a+b)^2-(a-b)=2
(a-b)*(a^2+ab+b^2-1)+(a+b)^2=2
(a-b)*[(a-b)^2+3ab-1]+(a+b)^2=2
由于(a+b)^2>=2^2=4,(a-b)^2+3ab-1>=0+3*1*1-1=2
故有;a-b<0,设;b=a+t,b-a=t,t>0,代入原式整理得
(4-3t)*a^2+t*(4-3t)*a-(t^3-t^2-t+2)=0
有;{t*(4-3t)}^2-4*(4-3t)*{-(t^3-t^2-t+2)}
=(4-3t)*{(4-3t)*t^2+4*(t^3-t^2-t+2)}
=(4-3t)*(t^3-4t+8)=s^2>=0..........(1)
由于 t^3-4t+8>0,故有;4-3t>0,0故不存在正整数a,b,使得等式a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2成立

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