用数列极限的精确定义证明这个极限[（n平方减2）/(n平方加1加n)]＝1,n趋向于无穷大!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 06:52:47

用数列极限的精确定义证明这个极限[（n平方减2）/(n平方加1加n)]＝1,n趋向于无穷大!
用数列极限的精确定义证明这个极限[（n平方减2）/(n平方加1加n)]＝1,n趋向于无穷大!

用数列极限的精确定义证明这个极限[（n平方减2）/(n平方加1加n)]＝1,n趋向于无穷大!
根据极限定义：
要证明极限为1,只需证明|(n^2-2)/(n^2+n+1)-1|

考虑
|(n^2-2)/(n^2+n+1) - 1|
=| (n^2-2-n^2-n-1)/(n^2+n+1) |
=| (-n-3)/(n^2+n+1) |
=(n+3)/(n^2+n+1)
<(n+3)/n^2 （因为n^2+n+1>n^2）
限制n>3
<2n/n^2
=2/n
对任意ε>0，取N=max{2/ε，3}...

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考虑
|(n^2-2)/(n^2+n+1) - 1|
=| (n^2-2-n^2-n-1)/(n^2+n+1) |
=| (-n-3)/(n^2+n+1) |
=(n+3)/(n^2+n+1)
<(n+3)/n^2 （因为n^2+n+1>n^2）
限制n>3
<2n/n^2
=2/n
对任意ε>0，取N=max{2/ε，3}>0，
当n>N，就有|(n^2-2)/(n^2+n+1) - 1|<ε
根据定义，
lim (n^2-2)/(n^2+n+1) = 1
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